Regel

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. $\begin{aligned} &\cos(30^\circ)=0.86602 \ldots\\[0.6em] &\sin(45^\circ)=0.70710 \ldots\\[0.6em] &\tan(60^\circ)=1.73205 \ldots \end{aligned}$ Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.

Vinkel $v$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin(v)$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(v)$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$
$\tan(v)$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan $1$ (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan $1,$ som halverats (blå).

Härledning
Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln

För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är $1$ le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln $45^\circ$ vardera.

Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för $x$ kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.

$a^2+b^2=c^2$

Sätt in uttryck

$x^2+x^2=1^2$

Förenkla potens & termer

$2x^2=1$

$\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.$

$x^2=\dfrac{1}{2}$

$\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}$

$x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

$x \gt 0$

$x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.

Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan $1$ på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar $60^\circ$, och den halva triangeln får därför toppvinkeln $30^\circ.$ Basen halveras och får längden $\frac{1}{2}.$

Höjden, $h,$ kan beräknas med Pythagoras sats.

$a^2+b^2=c^2$

Sätt in uttryck

$h^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1^2$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{c}=\dfrac{a^{c}}{b^{c}}$

$h^2+\dfrac{1}{4}=1$

$\text{VL}-\dfrac{1}{4}=\text{HL}-\dfrac{1}{4}$

$h^2=1-\dfrac{1}{4}$

Skriv $1$ som $\dfrac{4}{4}$

$h^2=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}$

Subtrahera bråk

$h^2=\dfrac{3}{4}$

$\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}$

$h=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}}$

$h \gt 0$

$h=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Höjden i den blå triangeln är alltså $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.

Regel

Vinkeln $30^\circ$

För standardvinkeln $30^\circ$ används den halva liksidiga triangeln.

Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning
$\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}$

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: $\sin(30^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac{1}{2}.$

Härledning
$\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: $\cos(30^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Härledning
$\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: $\tan(30^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Regel

Vinkeln $45^\circ$

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för $45^\circ$ används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av $45^\circ$-vinklarna man utgår ifrån.

Härledning
$\sin(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan: $\sin(45^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Härledning
$\cos(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: $\cos(45^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Härledning
$\tan(45^\circ)=1$

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: $\tan(45^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}=1.$

Regel

Vinkeln $60^\circ$

För att ta fram de trigonometriska värdena för $60^\circ$ använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för $30^\circ$-vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. $\sin(30^\circ)=\cos(60^\circ)$ och $\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ).$

Härledning
$\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: $\sin(60^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Härledning
$\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}$

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: $\cos(60^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac{1}{2}.$

Härledning
$\tan(60^\circ)=\sqrt{3}$

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: $\tan(60^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.$