Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande.
cos(30∘)=0.86602…sin(45∘)=0.70710…tan(60∘)=1.73205…
Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.
Vinkel v
30∘
45∘
60∘
sin(v)
21
21
23
cos(v)
23
21
21
tan(v)
31
1
3
Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan1 (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan 1, som halverats (blå).
Härledning
Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln
För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är 1 le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln 45∘ vardera.
Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för x kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.
a2+b2=c2
Sätt in uttryck
x2+x2=12
Förenkla potens & termer
2x2=1
VL/2=HL/2
x2=21
VL=HL
x=±21
x>0
x=21
ba=ba
x=21
Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.
Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan 1 på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar 60∘, och den halva triangeln får därför toppvinkeln 30∘. Basen halveras och får längden 21.
Höjden, h, kan beräknas med Pythagoras sats.
a2+b2=c2
Sätt in uttryck
h2+(21)2=12
(ba)c=bcac
h2+41=1
VL−41=HL−41
h2=1−41
Skriv 1 som 44
h2=44−41
Subtrahera bråk
h2=43
VL=HL
h=±43
h>0
h=43
ba=ba
h=23
Höjden i den blå triangeln är alltså 23.
Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.
Regel
Vinkeln 30∘
För standardvinkeln 30∘ används den halva liksidiga triangeln.