{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
close

Sannolikhet & statistik

Slumpförsök i flera steg

Teori

Oberoende händelser

Oberoende händelser är händelser vars sannolikheter inte beror på varandra. Om man först kastar en tärning och sedan drar ett kort ur en kortlek, beror inte vilket kort du får på resultatet av tärningskastet. Därför är dessa händelser oberoende.

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet beror på en eller flera andra händelser. I en skål finns två kulor: en lila och en röd.

Bowl with red and purple marble.svg

Om en av kulorna dras slumpmässigt kommer man antingen att ta den lila eller den röda. Vad blir sannolikheten att den andra kulan man tar är lila? Ja det beror ju på vilken färg den första kulan hade. Om man drog lila första gången finns det ingen lila kula kvar, utan bara en röd. Sannolikheten att ta en lila andra gången är 0: P(lila, om 1:a lila)=0. P(\text{lila, om 1:a lila})=0.

Om man däremot tog röd första gången finns det nu en skål med endast en lila kula. Sannolikheten är därför 1 att dra den lila kulan: P (lila, om 1:a röd) = 1. Sannolikheten för den andra händelsen, att dra lila kula, är alltså beroende av den första.

Multiplikation av sannolikheter

När flera slumpförsök sker, eller när ett upprepas, uppstår en kombination av händelser. Sannolikheten för att två händelser i olika slumpförsök, AA och BB, båda inträffar, får man genom att multiplicera deras respektive sannolikheter.

Regel

P(A och B)=P(A)P(B)P(A \text{ och } B) = P(A) \cdot P(B)
Visa mer

Exempel

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?
Visa mer

Addition av sannolikheter

För två händelser A och B, som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A eller B)=P(A)+P(B)P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)
Visa mer

Träddiagram

Ett träddiagram visualiserar ett slumpförsök som består av flera steg, t.ex. om man singlar slant upprepade gånger. Varje förgrening i trädet representerar ett kast och cirklarna anger de möjliga utfallen som kastet kan ge, krona (Kr) och klave (Kl). Ofta skriver man ut sannolikheter vid varje gren om de är kända.

Traddiagram KrKl one.svg

Varje väg genom trädet representerar en av de fyra händelser som kan ske om ett mynt singlas två gånger. Sannolikheten för t.ex. händelsen (Kr,Kr) får man genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen.

Traddiagram KrKl two 4.svg

Vill man beräkna sannolikheten för att samma sida kommer upp båda gångerna, dvs. händelsen (Kr,Kr eller Kl,Kl) adderas sannolikheterna för varje gren.

Traddiagram 3.svg

Exempel

Beräkna sannolikhet med träddiagram
Visa mer

Utfallsmatris

En utfallsmatris visualiserar slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. Den är att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt i ett träddiagram. Ett vanligt användningsområde är utfallsrummet för två tärningskast. Siffrorna längs kanterna representerar de möjliga utfallen för första och andra kastet och varje ruta representerar ett utfall, så de möjliga utfallen är lika många som antalet rutor i matrisen, dvs. 66=36.6 \cdot 6 =36.

Utfallsmatris Wordlist 3.svg
Händelsen "få både tvåa och femma" består av två gynnsamma utfall: utfallet "första 2:a, andra 5:a" som är markerad med röd cirkel, och utfallet "första 5:a, andra 2:a" som markerats med grön cirkel. Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (2 st) med antal möjliga utfall (36 st).

Uppgifter