Extremvärden

Skissa grafer

Teori

När man skissar grafer vill man veta hur de ser ut i stora drag. Man är alltså inte intresserad av att veta samtliga punkter en graf går igenom utan bara dess generella utseende. Det är dock nödvändigt att bestämma de stationära punkternas koordinater och karaktär för att veta var grafen vänder.

Skissa en graf med första- och andraderivata

En funktions första- och andraderivata kan användas för att skissa funktionens graf, där förstaderivatan används för att bestämma var funktionen har stationära punkter och andraderivatan för att avgöra punkternas karaktär. Man kan t.ex. skissa grafen till funktionen f(x)=0.5x4+x333x2 f(x)=0.5x^4+\frac{x^3}{3}-3x^2 med denna metod.

Funktionen f(x)f(x) deriveras först med lämpliga deriveringsregler.

f(x)=0.5x4+x333x2f(x)=0.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2
f(x)=D(0.5x4)+D(x33)D(3x2)f'(x)=D\left(0.5x^4\right)+D\left(\dfrac{x^3}{3}\right)-D\left(3x^2\right)
f(x)=2x3+D(x33)6xf'(x)=2x^3+D\left(\dfrac{x^3}{3}\right)-6x
f(x)=2x3+x26xf'(x)=2x^3+x^2-6x

För att hitta xx-värdena för funktionens stationära punkter sätter man sedan derivatan lika med 00 och löser ekvationen.

f(x)=2x3+x26xf'(x)=2x^3+x^2-6x
f(x)=0f'(x)={\color{#0000FF}{0}}
0=2x3+x26x{\color{#0000FF}{0}}=2x^3+x^2-6x
2x3+x26x=02x^3+x^2-6x=0
x(2x2+x6)=0x\left(2x^2+x-6\right)=0
x=02x2+x6=0\begin{array}{l}x=0 \\ 2x^2+x-6=0 \end{array}

Den första ekvationen ger direkt ett av derivatans nollställen, x=0,x=0, och den andra ekvationen kan lösas med pqpq-formeln. Den måste dock skrivas om på pqpq-form först.

2x2+x6=02x^2+x-6=0
x2+0.5x3=0x^2+0.5x-3=0
x=-0.52±(0.52)2(-3)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{0.5}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{0.5}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}3}}\right)}
x=-0.25±0.252(-3)x=\text{-}0.25\pm\sqrt{0.25^2-(\text{-}3)}
x=-0.25±0.0625(-3)x=\text{-}0.25\pm\sqrt{0.0625-(\text{-}3)}
a(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
x=-0.25±0.0625+3x=\text{-}0.25\pm\sqrt{0.0625+3}
x=-0.25±3.0625x=\text{-}0.25\pm\sqrt{3.0625}
x=-0.25±1.75x=\text{-}0.25\pm1.75
x1=-2x2=1.5\begin{array}{l}x_1=\text{-}2 \\ x_2=1.5 \end{array}

Övriga nollställen till derivatan är x=-2x=\text{-}2 och x=1.5.x=1.5. Funktionen har alltså stationära punkter där xx är -2,\text{-}2, 00 och 1.5.1.5.

Genom att sätta in respektive xx-värde i funktionen bestämmer man de stationära punkternas yy-värden.

xx 0.5x4+x333x20.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2 f(x)f(x)
-2{\color{#0000FF}{\text{-}2}} 0.5(-2)4+(-2)333(-2)20.5\cdot ({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^4+\dfrac{({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^3}{3}-3\cdot({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2 -6.7\sim \text{-}6.7
0 {\color{#0000FF}{0}} 0.504+0333020.5\cdot {\color{#0000FF}{0}}^4+\dfrac{{\color{#0000FF}{0}}^3}{3}-3 \cdot {\color{#0000FF}{0}}^2 00
1.5 {\color{#0000FF}{1.5}} 0.51.54+1.53331.520.5 \cdot {\color{#0000FF}{1.5}}^4+\dfrac{{\color{#0000FF}{1.5}}^3}{3}-3 \cdot {\color{#0000FF}{1.5}}^2 -3.1\sim \text{-}3.1

De tre stationära punkterna har alltså de ungefärliga koordinaterna (-2,-6.7),(\text{-}2,\text{-}6.7), (0,0)(0,0) och (1.5,-3.1).(1.5,\text{-}3.1). Första steget i att skissa grafen till funktionen är att markera dessa punkter i ett koordinatsystem.

För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.

f(x)=2x3+x26xf'(x)=2x^3+x^2-6x
f(x)=D(2x3)+D(x2)D(6x)f''(x)=D\left(2x^3\right)+D\left(x^2\right)-D(6x)
f(x)=6x2+D(x2)D(6x)f''(x)=6x^2+D\left(x^2\right)-D(6x)
f(x)=6x2+2xD(6x)f''(x)=6x^2+2x-D(6x)
f(x)=6x2+2x6f''(x)=6x^2+2x-6

Andraderivatan är alltså f(x)=6x2+2x6,f''(x)=6x^2+2x-6, och genom att sätta in xx-värdena från respektive stationär punkt beräknas andraderivatan i dem.

xx 6x2+2x66x^2+2x-6 f(x)f''(x) Tecken
-2{\color{#0000FF}{\text{-}2}} 6(-2)2+2(-2)66({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2+2({\color{#0000FF}{\text{-}2}})-6 1414 ++
0 {\color{#0000FF}{0}} 602+2066 \cdot {\color{#0000FF}{0}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{0}}-6 -6\text{-}6 -
1.5 {\color{#0000FF}{1.5}} 61.52+21.566 \cdot {\color{#0000FF}{1.5}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{1.5}}-6 10.510.5 ++

I två av punkterna, där xx är -2\text{-}2 och 1.51.5, ser man att andraderivatan är positiv. Det innebär att dessa är minimipunkter. Den stationära punkten i x=0x=0 är istället en maximipunkt eftersom andraderivatan är negativ där. Detta markeras i koordinatsystemet.

Notera att om andraderivatan blir 00 för något xx-värde så vet man inte vilken karaktär den stationära punkten har utan man måste undersöka det med teckentabell.

Grafen kommer inte att vända på några fler ställen än i de stationära punkterna, men för att få en bättre idé om grafens form kan det behövas fler punkter. Funktionens nollställen, om det finns några sådana, brukar vara av intresse och man hittar dem genom att lösa ekvationen f(x)=0.f(x) = 0. Man kan dock välja vilka xx-värden som helst och beräkna motsvarande yy-värden.

f(x)=0.5x4+x333x2f(x)=0.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2
f(x)=0f(x)={\color{#0000FF}{0}}
0=0.5x4+x333x2{\color{#0000FF}{0}}=0.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2
0.5x4+x333x2=00.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2=0
x2(0.5x2+x33)=0x^2\left(0.5x^2+\dfrac{x}{3}-3\right)=0
x2=0(I)0.5x2+x33=0(II)\begin{array}{lc}x^2=0 & \text{(I)}\\ 0.5x^2+\frac{x}{3}-3=0 & \text{(II)}\end{array}
x=±00.5x2+x33=0\begin{array}{l}x=\pm\sqrt{0} \\ 0.5x^2+\frac{x}{3}-3=0 \end{array}
x=00.5x2+x33=0\begin{array}{l}x=0 \\ 0.5x^2+\frac{x}{3}-3=0 \end{array}

Funktionen skär alltså xx-axeln vid x=0.x=0. Övriga nollställen får man genom att lösa den andra ekvationen, t.ex. genom att skriva den på pqpq-form och lösa med pqpq-formeln.

0.5x2+x33=00.5x^2+\dfrac{x}{3}-3=0
x2+23x6=0x^2+\dfrac{2}{3}\cdot x-6=0
x=-2/32±(2/32)2(-6)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{2/3}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{2/3}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}6}}\right)}
a/cb=abc\dfrac{a/c}{b}= \dfrac{a}{b\cdot c}
x=-26±(26)2(-6)x=\text{-}\dfrac{2}{6}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{6}\right)^2-(\text{-}6)}
x=-13±(13)2(-6)x=\text{-}\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-(\text{-}6)}
a(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
x=-13±(13)2+6x=\text{-}\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + 6}
x1=-13(13)2+6x2=-13+(13)2+6\begin{array}{l}x_1=\text{-} \frac{1}{3} - \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 6} \\ x_2=\text{-} \frac{1}{3} + \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 6} \end{array}
x1=-2.80539x2=2.13873\begin{array}{l}x_1=\text{-}2.80539\ldots \\ x_2=2.13873\ldots \end{array}

Funktionen kommer alltså skära xx-axeln där xx är 0,0, ca -2.8\text{-}2.8 och ca 2.1,2.1, vilket nu kan markeras i koordinatsystemet.

Till sist kopplas punkterna samman med en kurva. För funktionen f(x)=0.5x4+x333x2f(x)=0.5x^4+\frac{x^3}{3}-3x^2 ser den skissade grafen ut på följande sätt.

Exempel

Skissa grafen utifrån teckentabellen

Exempel

Skissa grafen med derivata