Lös ekvationssystemet med tre okända variabler

fullscreen

Lös ekvationssystemet.

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x + 2 y + z = 0

Vi väljer att lösa ekvationssystemet med substitutionsmetoden och börjar med att lösa ut en variabel ur en av ekvationerna. Det spelar ingen roll vilken variabel eller vilken ekvation, så vi väljer att lösa ut

x

ur den tredje ekvationen.

Visa Lösning

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x + 2 y + z = 0 (I) (II) (III)

SubEqn

$(III):$ $VL - 2 y = HL - 2 y$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x + z = - 2 y

SubEqn

$(III):$ $VL - z = HL - z$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

Vi sätter in detta uttryck i båda de andra ekvationerna och förenklar.

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

$(I), (II):$ $x = - 2 y - z$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 (- 2 y - z) + y - 3 z = 1 4 (- 2 y - z) - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

$(I), (II):$ Multiplicera in $2 & 4$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 (- 2 y) - 2 \cdot z + y - 3 z = 1 4 (- 2 y) - 4 \cdot z - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

$(I), (II):$ Multiplicera faktorer

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ - 4 y - 2 z + y - 3 z = 1 - 8 y - 4 z - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

$(I), (II):$ Förenkla termer

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ - 3 y - 5 z = 1 - 9 y - 9 z = 9 x = - 2 y - z

DivEqn

$(II):$ $VL / 9 = HL / 9$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ - 3 y - 5 z = 1 - y - z = 1 x = - 2 y - z

Nu har

x

försvunnit från ekvation (I) och (II), som tillsammans bildar ett ekvationssystem med bara två okända:

{- 3 y - 5 z = 1 - y - z = 1 .

Vi väljer att lösa detta med additionsmetoden, men det hade också gått bra med substitutionsmetoden. Genom att byta tecken i den nedre ekvationen och därefter multiplicera den med

3

kommer

y

-termerna att ta ur varandra vid additionen.

{- 3 y - 5 z = 1 - y - z = 1 (I) (II)

ChangeSigns

$(II):$ Byt tecken

{- 3 y - 5 z = 1 y + z = - 1

MultEqn

$(II):$ $VL \cdot 3 = HL \cdot 3$

{- 3 y - 5 z = 1 3 y + 3 z = - 3

SysEqnAdd

$(I):$ Addera $(II)$

{- 3 y - 5 z + 3 y + 3 z = 1 - 3 3 y + 3 z = - 3

SimpTerms

$(I):$ Förenkla termer

{- 2 z = - 2 3 y + 3 z = - 3

DivEqn

$(I):$ $VL / (- 2) = HL / (- 2)$

{z = 1 3 y + 3 z = - 3

Substitute

$(II):$ $z = 1$

{z = 1 3 y + 3 \cdot 1 = - 3

Multiply

$(II):$ Multiplicera faktorer

{z = 1 3 y + 3 = - 3

SubEqn

$(II):$ $VL - 3 = HL - 3$

{z = 1 3 y = - 6

DivEqn

$(II):$ $VL / 3 = HL / 3$

{z = 1 y = - 2

Nu har vi löst ut

y

och

z

. Vi sätter vi in dem i ekvation (III) för att till sist lösa ut

x

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ z = 1 y = - 2 x = - 2 y - z (I) (II) (III)

SubstituteII

$(III):$ $y = - 2$ , $z = 1$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ z = 1 y = - 2 x = - 2 (- 2) - 1

Multiply

$(III):$ Multiplicera faktorer

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ z = 1 y = - 2 x = 4 - 1

SubTerm

$(III):$ Förenkla termer

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ z = 1 y = - 2 x = 3

Nu har vi löst ut alla okända variabler och lösningen är alltså

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x = 3 y = - 2 z = 1 .

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Exempel

Lös ekvationssystemet med tre okända variabler

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}