{{ article.chapterName }}

{{ article.displayTitle }}

Teori

Sannolikhet

En sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att något inträffar. Det är ett värde mellan 0 och 1 och kan anges i decimal-, procent- eller bråkform. I en kortlek finns fyra färger (spader, hjärter, ruter och klöver) och sannolikheten att t.ex. slumpmässigt dra ett spader är därför en fjärdedel. Det brukar skrivas P(spader)=14. P(\text{spader})=\dfrac{1}{4}. PP kommer från engelskans Probability och det som står innanför parentesen är den händelse man undersöker. En händelse med sannolikheten 00 inträffar aldrig, medan sannolikheten 11 innebär att den inträffar vid varje försök.

Slumpförsök

Ett slumpförsök är en process som har ett utfall som inte går att förutsäga, även om försöket gjorts tidigare. Två exempel på slumpförsök är en lott som dras eller en tärning som kastas.

Memo Utfall utfallsrum handelse.svg
Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpförsök. Ett tärningskast kan t.ex. få utfallet 3. Detta ska inte förväxlas med de eventuella "mål" man kan ha med att slå tärningen, som "slå udda" eller "slå max 3". Sådana mål kallas händelser.
En händelse är en kombination av ett eller flera utfall. Exempelvis är att "slå minst 4 med en tärning" en händelse.
Alla de utfall som ett slumpförsök kan ge kallas för försökets utfallsrum.

Formel för sannolikhet

Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.

P=Antal gynnsamma utfallAntal möjliga utfallP=\dfrac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}

Inom sannolikhet syftar gynnsamma utfall på de händelser man är intresserad av att bestämma sannolikheten för, oavsett om de upplevs som bra eller dåliga. Om händelsen exempelvis är att "slå ett udda tal med en tärning" är de gynnsamma utfallen 33 stycken: etta, trea och femma. Antalet möjliga utfall är 6,6, eftersom det finns 66 sidor på tärningen. Sannolikheten blir P(udda)=36=12=0.5, P(\text{udda})=\dfrac{3}{6}= \dfrac{1}{2}=0.5,

alltså 50%.50 \, \%.

Exempel

Hur sannolik är händelsen?

Experimentell sannolikhet

Om man inte vet hur sannolikt något är kan man uppskatta det genom att undersöka hur ofta något inträffar. Därefter kan man bilda sig en uppfattning om hur sannolik händelsen är.

PAntal lyckade försökAntal försökP \approx \dfrac{\text{Antal lyckade försök}}{\text{Antal försök}}

Svaret blir inte tillförlitligt om man gör få försök. Sannolikheten är t.ex. inte 0 att få krona vid en slantsingling bara för att man kastar en gång och får klave. Ju fler försök man gör, desto bättre blir uppskattningen.

Exempel

Hur kan man tolka experimentell sannolikhet?

Axiom för sannolikhet

Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:

  1. Sannolikheter är lika med noll eller är positiva.
  2. Sannolikheten för att ett utfall ligger i utfallsrummet är 1.1.
  3. Om AA och BB är två händelser som inte kan inträffa samtidigt är den kombinerade sannolikheten att något av dem inträffar summan av deras enskilda sannolikheter.

P(A eller B)=P(A)+P(B)P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad A,A, är att slå 44:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 44:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet cc uppe till höger: Ac.A^c. För AA är komplementhändelsen AcA^c att tärningen visar 1,1, 2,2, 3,3, 55 eller 6.6.

Komplementhandelse rules 1.svg

Antingen inträffar händelsen AA eller dess komplementhändelse, AcA^c. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.1.

P(A)+P(Ac)=1P(A)+P(A^c)=1

Exempel

Vad är komplementhändelsen?

Uppgifter