{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
close

Sannolikhet & statistik

Sannolikhet

Teori

Sannolikhet

En sannolikhet anger hur troligt det är att en händelse inträffar och brukar betecknas P efter engelskans Probability. Det är ett värde mellan 0 och 1 och kan anges i decimal-, procent- eller bråkform. En händelse med sannolikheten 0 inträffar aldrig, medan sannolikheten 1 innebär att den inträffar vid varje försök. Det är lika troligt att få "krona" som att få "klave" när man singlar slant, så sannolikheten för att få krona är 50 %, eller 0.5: P(krona)=0.5. P(\text{krona})=0.5. Sannolikhet anger endast vad som är förväntat. Ett mynt som singlas 100 gånger kommer inte nödvändigtvis att ge krona exakt 50 gånger. Men, om man fortsätter singla myntet kommer antalet gånger man får krona att närma sig hälften.

Slumpförsök

Ett slumpförsök är en process som har ett utfall som inte går att förutsäga, även om försöket gjorts tidigare. Två exempel på slumpförsök är en lott som dras eller en tärning som kastas.
Memo Utfall utfallsrum handelse.svg
  • Utfall:
    Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpförsök. Ett tärningskast kan t.ex. få utfallet 3. Detta ska inte förväxlas med de eventuella "mål" man kan ha med att slå tärningen, som "slå udda" eller "slå max 3". Sådana mål kallas händelser.
  • Händelse:
    En händelse är en kombination av ett eller flera utfall. Exempelvis är att "slå minst 4 med en tärning" en händelse.
  • Utfallsrum:
    Alla de utfall som ett slumpförsök kan ge kallas för försökets utfallsrum.

Formel för sannolikhet

Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med formeln nedan.

Om händelsen exempelvis är att "slå mer än 44 med en tärning" är de gynnsamma utfallen (de vi vill undersöka) 22 stycken: femma och sexa. Antalet möjliga utfall är 6,6, eftersom det finns 66 sidor på tärningen. Sannolikheten blir P(udda)=26=130.33, P(\text{udda})=\dfrac{2}{6}= \dfrac{1}{3} \approx 0.33,

alltså ungefär 33%.33 \, \%.

Exempel

Hur sannolik är händelsen?
Visa mer

Experimentell sannolikhet

Om man inte vet hur sannolikt något är kan man uppskatta det genom att undersöka hur ofta något inträffar. Därefter kan man bilda sig en uppfattning om hur sannolik händelsen är.

Svaret blir inte tillförlitligt om man gör få försök. Sannolikheten är t.ex. inte 0 att få krona vid en slantsingling bara för att man kastar en gång och får klave. Ju fler försök man gör, desto bättre blir uppskattningen.

Exempel

Hur kan man tolka experimentell sannolikhet?
Visa mer

Axiom för sannolikhet

Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:

  1. Sannolikheter är lika med noll eller är positiva.
  2. Sannolikheten för att ett utfall ligger i utfallsrummet är 1.1.
  3. Om AA och BB är två händelser som inte kan inträffa samtidigt är den kombinerade sannolikheten att något av dem inträffar summan av deras enskilda sannolikheter.

P(A eller B)=P(A)+P(B)P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)

Komplementhändelse

Om händelsen AA är att slå 4:a med en tärning, så är komplementhändelsen AcA^c det som inte sker: att tärningen visar 1, 2, 3, 5 eller 6. Komplementhändelsen är alltså det som måste hända, om händelse A inte inträffar.

Komplementhandelse Wordlist 1.svg
Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.

P(A)+P(Ac)=1P(A)+P(A^c)=1

Exempelvis är sannolikheten att slå 4 med en tärning adderat med sannolikheten för komplementhändelsen lika med

P(4:a)+P(inte 4:a)=16+56=1. P(\text{4:a})+P(\text{inte 4:a})=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1.

Exempel

Vad är komplementhändelsen?
Visa mer

Uppgifter