Analytisk geometri

Samband mellan graf och funktionsuttryck

Teori

Andragradsfunktionens graf

Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c avgör aa både åt vilket håll kurvan är krökt ( eller )(\smile \text{ eller } \frown) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100100 eller -100\text{-} 100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0.50.5 eller -0.5\text{-} 0.5) ger bredare kurvor. Konstanten cc avgör grafens skärningspunkt med yy-axeln, på samma sätt som mm-värdet anger skärningspunkten med yy-axeln för en rät linje.

Skissa en andragradskurva

För att skissa en andragradskurva behöver man dels veta kurvans extrempunkt samt ytterligare två punkter på varsin sida om symmetrilinjen. Exempelvis kan funktionen y=x22x+1 y=x^2-2x+1 skissas genom att följa nedanstående metod.

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket för exemplet kan göras med hjälp av pqpq-formeln. Skriver vi funktionen på pqpq-form, dvs. x22x+1=0x^2-2x+1=0 kan symmetrilinjen läsas av direkt. x=--22±(-22)21 x=\text{-}\dfrac{\text{-}2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-1} Symmetrilinjen xsx_s är termen framför rottecknet.

xs=--22x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 2}{2}
xs=-(-1)x_s=\text{-}(\text{-} 1)
xs=1x_s=1

Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1.x_s=1.

Efter att man har bestämt symmetrilinjen vill man hitta det extremvärde som finns på denna linje. Det gör man genom att sätta in xx-värdet för symmetrilinjen, vilket är x=1x=1 för vårt exempel, i funktionen.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
x=1x={\color{#0000FF}{1}}
y=1221+1y={\color{#0000FF}{1}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{1}}+1
y=12+1y=1-2+1
y=0y=0

Extremvärdet är y=0y=0 och finns vid x=1,x=1, vilket innebär att kurvans extrempunkt har xx-koordinaten 11 och yy-koordinaten 0.0. Den ligger alltså i (1,0),(1,0), vilket ger den första punkten på grafen.

För att kunna rita ut grafen krävs ytterligare två punkter som ligger på den. Ett sätt att hitta dessa är att bestämma en punkt på ena sidan om symmetrilinjen och sedan utnyttja symmetrin för att bestämma motsvarande punkt på andra sidan. I fallet som studeras här kan man exempelvis först beräkna funktionsvärdet för x=2x=2 som ligger ett steg åt höger om symmetrilinjen.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
x=2x={\color{#0000FF}{2}}
y=2222+1y={\color{#0000FF}{2}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{2}}+1
y=44+1y=4-4+1
y=1y=1

Punkten (2,1)(2,1) ligger alltså på kurvan. Symmetrin ger nu att kurvan har ytterligare en punkt som ligger vid samma yy-värde och lika långt från symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1)(0,1) som ligger ett steg åt vänster och vid yy-värdet 1.1. Det ger totalt tre kända punkter på kurvan, vilket räcker för att rita ut den.

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

I figuren nedan går det att flytta de tre punkterna och sedan se hur en andragradskurva genom dem ser ut.

Skissa graf

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av graf det är. När man vet det, behöver man känna till minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form. Nedan har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket till grafen kan man använda följande metod.

Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är y=Cax. y=C\cdot a^x. Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet CC och förändringsfaktorn a.a.

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom (1,1),(1,1), och (2,3)(2,3).

Punkterna sätts in i funktionsuttrycket och man får då två ekvationer: 1=Ca1och3=Ca2. 1=C\cdot a^{1} \quad \text{och} \quad 3=C\cdot a^{2}.

Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer som beskriver samma funktion, kan man ställa upp ett ekvationssystem: {1=Ca13=Ca2. \begin{cases}1=C\cdot a^{1} \\ 3=C\cdot a^{2}. \end{cases} Nu kan man använda t.ex. substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

{1=Ca1(I)3=Ca2(II)\begin{cases}1=C\cdot a^{1} & \, \text {(I)}\\ 3=C\cdot a^{2} & \text {(II)}\end{cases}
(I): {\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}} Förenkla potens
{1=Ca3=Ca2\begin{cases}1=C\cdot a \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{1a=C3=Ca2\begin{cases}\frac{1}{a}=C \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=Ca2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=1aa2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3={\color{#0000FF}{\frac{1}{a}}}\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=a2a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=\frac{a^2}{a} \end{cases}
{C=1a3=a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=a \end{cases}
{C=1aa=3\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ a=3 \end{cases}
{C=13a=3\begin{cases}C=\frac{1}{{\color{#0000FF}{3}}} \\ a=3 \end{cases}

Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket. För exemplet sätter man in C=13C=\frac{1}{3} och a=3a=3, vilket ger y=133x. y=\dfrac{1}{3}\cdot 3^x.

Exempel

Bestäm funktionen med hjälp av grafen
Visa mer