Algebra och icke-linjära ekvationer

Rotekvationer

Teori

En rotekvation är en ekvation som innehåller minst en term där en variabel står under ett rottecken, t.ex. x=5ochx+2=x. \sqrt{x} = 5 \quad \text{och} \quad \sqrt{x+2} = x.

När man löser rotekvationer är det ofta nödvändigt att kvadrera båda leden, vilket kan leda till falska rötter, alltså rötter som inte är lösningar till ekvationen. Det är därför viktigt att kontrollera sina lösningar genom att sätta in lösningarna i ekvationen och undersöka om vänster- och högerled blir lika stora.

Lösa rotekvationer

När man löser rotekvationer, t.ex. 4x+132=x, \sqrt{4x + 13} - 2 = x, börjar man med att skriva om dem så att det går att kvadrera bort roten. Det är sedan viktigt att pröva de rötter man får ut för att undvika falska rötter.

Börja med att lösa ut rotuttrycket så att det står ensamt i höger- eller vänsterledet. Här adderas 22 till båda led.
4x+132=x\sqrt{4x + 13} - 2 = x
4x+13=x+2\sqrt{4x + 13} = x+2

Kvadrera båda led för att bli av med rottecknet.

4x+13=x+2\sqrt{4x + 13} = x + 2
4x+13=(x+2)24x + 13 = (x + 2)^2
Utveckla med första kvadreringsregeln
4x+13=x2+2x2+224x + 13 = x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2
4x+13=x2+4x+44x + 13 = x^2 + 4x + 4

När ekvationen inte längre innehåller ett rottecken kan den lösas med lämplig metod, t.ex. balansmetoden, nollproduktmetoden eller pqpq-formeln.

4x+13=x2+4x+44x + 13 = x^2 + 4x + 4
x2+4x+4=4x+13x^2 + 4x + 4 = 4x + 13
x2+4=13x^2 + 4 = 13
x2=9x^2 = 9
x=±9x=\pm\sqrt{9}
x=±3x = \pm 3
För att undersöka om någon av lösningarna är en falsk rot prövas de genom att sättas in i ursprungsekvationen.
4x+132=x\sqrt{4x + 13} - 2 = x
x=3x={\color{#0000FF}{3}}
43+132=?3\sqrt{4\cdot {\color{#0000FF}{3}} + 13} - 2 \stackrel{?}{=} {\color{#0000FF}{3}}
12+132=?3\sqrt{12 + 13} - 2 \stackrel{?}{=} 3
252=?3\sqrt{25} - 2 \stackrel{?}{=} 3
52=?35 - 2 \stackrel{?}{=} 3
3=33 = 3
Roten x=3x = 3 löser ekvationen. Nu testas x=-3.x = \text{-} 3.
4x+132=x\sqrt{4x + 13} - 2 = x
x=-3x={\color{#0000FF}{\text{-} 3}}
4(-3)+132=?-3\sqrt{4\cdot ({\color{#0000FF}{\text{-} 3}}) + 13} - 2 \stackrel{?}{=} {\color{#0000FF}{\text{-} 3}}
-12+132=?-3\sqrt{\text{-} 12 + 13} - 2 \stackrel{?}{=} \text{-} 3
12=?-3\sqrt{1} - 2 \stackrel{?}{=} \text{-} 3
12=?-31 - 2 \stackrel{?}{=} \text{-} 3
-1-3\text{-} 1 \neq \text{-}3

Likheten gäller inte för x=-3x=\text{-} 3, som då är en falsk rot. Den enda lösningen till rotekvationen är x=3x=3.

Exempel

Lös rotekvationen