Polynom och funktioner

Rationella uttryck

Teori

Rationella tal

Rationella tal (Q\mathbb{Q}) är tal som kan skrivas som ett bråk ab,\frac{a}{b}, där aa och bb är heltal och b0.b\neq 0. Exempelvis är 13och3145 \frac 1 3 \quad \text{och} \quad \frac{31}{45} rationella tal. Heltal är också rationella eftersom de alltid kan skrivas som bråk, t.ex. genom att låta nämnaren vara 1,1, som i 5=515=\frac{5}{1} och -3=-31.\text{-}3 = \frac{\text{-}3}{1}. Decimaltal med en ändlig eller periodisk decimalutveckling kan också skrivas på formen ab\frac a b genom att förlänga dem med lämplig faktor.

Rationella tal5754.svg
Alla reella tal som inte är rationella kallas irrationella.

Rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck är ett bråk där både täljaren och nämnaren är polynom, som t.ex. x27x3+5x. \dfrac{x^2-7}{x^3+5x}.

Ibland döps täljaren till p(x)p(x) och nämnaren till q(x).q(x). I det här exemplet är alltså p(x)=x27p(x) = x^2 -7 och q(x)=x3+5x.q(x) = x^3 + 5x.

Odefinierat rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck är odefinierat för de värden som gör att uttryckets nämnare är lika med 00 eftersom nolldivision är förbjudet. T.ex. är det rationella uttrycket x2+2x15x+3 \dfrac{x^2+2x-15}{x+3}

odefinierat för x=-3x=\text{-}3 eftersom polynomet i nämnaren är lika med 00 för detta värde.

Exempel

För vilka xx är de rationella uttrycken odefinierade?

Förlänga och förkorta rationella uttryck

Eftersom rationella uttryck är bråk går det att förlänga eller förkorta dem med en faktor utan att kvotens värde förändras. När man förlänger det rationella uttrycket p(x)q(x)\frac{p(x)}{q(x)} med faktorn kk gäller alltså följande likhet.

p(x)q(x)=p(x)kq(x)k\dfrac{p(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)\cdot k}{q(x)\cdot k}

Om man istället förkortar med faktorn kk får man en motsvarande likhet. I båda fall kan faktorn kk vara alla tal utom 00 eftersom det skulle leda till en nolldivision.

p(x)q(x)=p(x)/kq(x)/k\dfrac{p(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)/ k}{q(x)/ k}

Det går också att förlänga eller förkorta med ett helt polynom. Exempelvis kan man förkorta det rationella uttrycket x1x(x1)\frac{x - 1}{x(x - 1)} med faktorn (x1)(x-1): x1x(x1)=1x. \dfrac{x - 1}{x (x - 1)} = \dfrac{1}{x}.

Lägg märke till definitionsmängden. Det första uttrycket är odefinierat för x=1,x=1, men i det andra uttrycket går x=1x=1 fint. Det ser ut som att definitionsmängden utökats i förkortningen, men så är det inte. xx-värden som är otillåtna från början är otillåtna genom hela beräkningen.

Enklaste form (rationellt uttryck)

Ett rationellt uttryck skrivet på sin enklaste form är förkortat så långt det går, dvs. man kan inte bryta ut och förkorta med någon gemensam faktor i täljare och nämnare. T.ex. är x+3x1ochxx+5 \dfrac{x+3}{x-1} \quad \text{och} \quad \dfrac{x}{x+5} skrivna på enklaste form, medan 2x+62x22ochx2xx+x2 \dfrac{2x+6}{2x^2 - 2} \quad \text{och} \quad \dfrac{x^2 - x}{x + x^2}

kan förkortas med 22 respektive x.x.

Exempel

Förenkla det rationella uttrycket genom att bryta ut faktor

Förenkla rationella uttryck

För att kunna förenkla ett rationellt uttryck måste det finnas en gemensam faktor i täljaren och nämnaren. Om det gör det kan uttrycket förenklas genom att den förkortas bort. Gemensamma faktorer kan hittas genom att på olika sätt faktorisera polynomen i täljaren och nämnaren. Exempelvis kan det rationella uttrycket 9xx3x26x+9 \dfrac{9x - x^3}{x^2 - 6x + 9} förenklas genom att ta hjälp av följande checklista.

Undersök först om det finns någon gemensam faktor för alla termer i täljaren eller nämnaren, och i så fall, bryt ut den. I det här fallet finns faktorn xx i båda termerna i täljaren.

9xx3x26x+9\dfrac{9x - x^3}{x^2 - 6x + 9}
Dela upp i faktorer
x9xx2x26x+9\dfrac{x \cdot 9 - x\cdot x^2}{x^2 - 6x + 9}
x(9x2)x26x+9\dfrac{x \left(9 - x^2 \right)}{x^2 - 6x + 9}

Sedan undersöker man om det är möjligt att faktorisera något med konjugatregeln. Man söker alltså efter ett uttryck på formen a2b2a^2 - b^2 som kan faktoriseras till (a+b)(ab).(a + b)(a - b). I exemplet finns 9x29 - x^2 i täljaren, vilket kan faktoriseras på detta sätt.

x(9x2)x26x+9\dfrac{x\left(9 - x^2 \right)}{x^2 - 6x + 9}
x(32x2)x26x+9\dfrac{x \left(3^2 - x^2 \right)}{x^2 - 6x + 9}
x(3+x)(3x)x26x+9\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 6x + 9}

Man bör också undersöka om det går att faktorisera någonting med första eller andra kvadreringsregeln. Man söker alltså efter uttryck på formen a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 eller a22ab+b2a^2 - 2ab + b^2 som kan faktoriseras till (a+b)2(a + b)^2 respektive (ab)2.(a - b)^2. I exemplet kan nämnaren faktoriseras med andra kvadreringsregeln.

x(3+x)(3x)x26x+9\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 6x + 9}
Dela upp i faktorer
x(3+x)(3x)x22x3+9\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 9}
x(3+x)(3x)x22x3+32\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 3^2}
Faktorisera med andra kvadreringsregeln
x(3+x)(3x)(x3)2\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{(x - 3)^2}

I vissa fall måste man bryta ut ett minustecken ur en faktor för att den ska få samma utseende som en annan faktor. I exemplet kan man se att faktorn 3x3 - x i täljaren är nästan identisk med faktorn x3x - 3 i nämnaren och om man bryter ut -1\text{-}1 i täljaren blir de likadana.

x(3+x)(3x)(x3)2\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{(x - 3)^2}
(3x)x(3+x)(x3)2\dfrac{(3 - x) \cdot x \cdot (3 + x)}{(x - 3)^2}
-(x3)x(3+x)(x3)2\dfrac{\text{-} (x - 3)\cdot x \cdot(3 + x)}{(x - 3)^2}

När täljaren och nämnaren är helt faktoriserade identifierar man de faktorer som finns i båda och förkortar bort dem. I exemplet kan man nu se att faktorn x3x - 3 finns en gång i täljaren och två gånger i nämnaren, så det går att förkorta med den en gång.

-(x3)x(3+x)(x3)2\dfrac{\text{-} (x - 3)\cdot x \cdot(3 + x)}{(x - 3)^2}
-x(3+x)x3\dfrac{\text{-} x (3 + x)}{x - 3}

Det rationella uttrycket har nu förenklats så långt som det går. Om man vill bli av med ytterligare ett tecken kan man flytta ned minustecknet till nämnaren och multiplicera in det. Då får man x(3+x)-(x3)=x(3+x)3x. \dfrac{x (3 + x)}{\text{-}(x - 3)}=\dfrac{x (3 + x)}{3 - x}.

Exempel

Förenkla det rationella uttrycket med konjugatregeln