{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Klassisk geometri

Randvinkelsatsen

Teori

Medelpunktsvinkel

I en cirkel bildas en medelpunktsvinkel mellan två radier. Både uu och vv är medelpunktsvinklar.

cirkel med medelpunktsvinkel

Randvinkel

Två linjer som dras från en cirkelbåges ändpunkter och möts i en tredje punkt på cirkelns rand bildar en randvinkel. De tre gröna vinklarna är randvinklar.

cirkel med randvinklar och cirkelbåge
Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen är randvinklar till samma cirkelbåge lika stora.

Randvinkelsatsen

Medelpunktsvinkeln uu och randvinkeln vv spänner upp samma cirkelbåge.

cirkel med medelpunkts- och randvinkel på samma cirkelbåge

Enligt randvinkelsatsen är då uu dubbelt så stor som vv.

u=2vu=2v

Satsen kan bevisas med yttervinkelsatsen och delas upp i tre fall beroende på hur linjerna som bildar randvinkeln har dragits.

Exempel

Bestäm vinklarna med randvinkelsatsen

Bestäm vinklarna uu och v.v.

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel

Vinkeln vv och 4949^\circ-vinkeln är randvinklar till samma cirkelbåge.

cirkel med två randvinklar

Det betyder att de är lika stora, så v=49.v=49^\circ. Medelpunktsvinkeln uu spänner upp samma cirkelbåge som randvinklarna.

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel

Enligt randvinkelsatsen är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som randvinkeln för samma cirkelbåge. Det betyder att u=249=98. u=2\cdot49^\circ=98^\circ.

Visa mer

Följder av randvinkelsatsen

Från randvinkelsatsen följer några andra samband som kan vara bra att känna till.

Randvinklar som spänner upp samma cirkelbåge är lika stora oavsett var de placeras.

En randvinkel som dras från två ändpunkter av en diameter, dvs. som spänner upp en halvcirkelbåge, är alltid rät.

För en fyrhörning inskriven i en cirkel, dvs. hörnen ligger på cirkelns rand, är summan av motstående vinklar 180.\mathbf{180^\circ}.

Exempel

Bestäm vinklarna i fyrhörningen

I den inskrivna fyrhörningen ABCDABCD är vinkeln ABCABC 105.105^\circ. Bestäm fyrhörningens övriga vinklar.

cirkel med inskriven fyrhörning

Vinkeln vid hörn AA är randvinkel till en halvcirkel eftersom sträckan BDBD är diameter. Det betyder att vinkel AA är 9090^\circ enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen.

cirkel med inskriven fyrhörning och en rät vinkel

BCD\wedge BCD är också rät eftersom den är randvinkel på den andra halvcirkeln.

cirkel med inskriven fyrhörning med två rät vinklar

Vi vet också att ABC\wedge ABC är 105.105^\circ.

cirkel med inskriven fyrhörning och två räta vinklar

ADC\wedge ADC och ABC\wedge ABC är motstående vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel. Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen innebär det att summan av dem är 180.180^\circ. Det ger ADC+105=180ADC=75. \wedge ADC+105^\circ=180^\circ \quad \Leftrightarrow \quad \wedge ADC=75^\circ. Vinklarna i fyrhörningen är alltså A=90,B=105,C=90,D=75. A=90 ^\circ, \quad B=105 ^\circ, \quad C=90 ^\circ, \quad D=75 ^\circ.

Visa mer

Bevis för randvinkelsatsen

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Bevis

Fall 1

Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel

Triangeln som skapas är likbent eftersom två av benen är radier. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Yttervinkelsatsen ger u=v+v=2v. u = v + v =2v.

Visa mer

Bevis

Fall 2

I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.

cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar

Ser man den inlagda diametern som ett vinkelben både till randvinkeln och medelpunktsvinkeln kan man nu tolka denna nya figur som två exempel av fall 1. Beviset därifrån ger då att u1=2v1ochu2=2v2. u_1 = 2v_1 \quad \text{och} \quad u_2 = 2v_2. Den ursprungliga medelpunktsvinkeln uu är summan av u1u_1 och u2u_2 och på samma sätt är v=v1+v2v = v_1 + v_2. Detta används för att ta fram ett uttryck för u.u.

u=u1+u2u = u_1 + u_2
u1=2v1u_1={\color{#0000FF}{2v_1}}, u2=2v2u_2={\color{#009600}{2v_2}}
u=2v1+2v2u = {\color{#0000FF}{2v_1}} + {\color{#009600}{2v_2}}
u=2(v1+v2)u = 2(v_1 + v_2)
v1+v2=vv_1 + v_2={\color{#0000FF}{v}}
u=2vu = 2{\color{#0000FF}{v}}
Visa mer

Bevis

Fall 3

Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.

två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar

Sambandet från fall 1 kan nu användas igen: u1=2v1ochu2=2v2. u_1 = 2v_1 \quad \text{och} \quad u_2 = 2v_2. Vinkeln v1v_1(blå) kan nu skrivas som summan av v2v_2(röd) och randvinkeln vv (grön), dvs. v1=v+v2,v_1=v+v_2, vilket betyder att v=v1v2.v=v_1-v_2.

cirkel med summan av två vinklar

På samma sätt är u=u1u2.u=u_1-u_2. Detta används för att bevisa randvinkelsatsen även för detta fall.

u=u1u2u = u_1 - u_2
u1=2v1u_1={\color{#0000FF}{2v_1}}, u2=2v2u_2={\color{#009600}{2v_2}}
u=2v12v2u = {\color{#0000FF}{2v_1}} - {\color{#009600}{2v_2}}
u=2(v1v2)u = 2(v_1 - v_2)
v1v2=vv_1 - v_2={\color{#0000FF}{v}}
u=2vu = 2{\color{#0000FF}{v}}

Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.

Q.E.D.
Visa mer

Uppgifter