Randvinkelsatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Medelpunktsvinkel

I en cirkel bildas en medelpunktsvinkel mellan två radier. Både uu och vv är medelpunktsvinklar.

cirkel med medelpunktsvinkel
Begrepp

Randvinkel

Två linjer som dras från en cirkelbåges ändpunkter och möts i en tredje punkt på cirkelns rand bildar en randvinkel. De tre gröna vinklarna är randvinklar.

cirkel med randvinklar och cirkelbåge
Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen är randvinklar till samma cirkelbåge lika stora.
Regel

Randvinkelsatsen

Medelpunktsvinkeln uu och randvinkeln vv spänner upp samma cirkelbåge.

cirkel med medelpunkts- och randvinkel på samma cirkelbåge

Enligt randvinkelsatsen är då uu dubbelt så stor som vv.

u=2vu=2v

Sambandet gäller oavsett vilken randpunkt och cirkelbåge som väljs.
Satsen kan bevisas med yttervinkelsatsen och delas upp i tre fall beroende på hur linjerna som bildar randvinkeln har dragits.
Uppgift

Bestäm vinklarna uu och v.v.

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel
Visa lösning Visa lösning
Regel

Följder av randvinkelsatsen

Från randvinkelsatsen följer några andra samband som kan vara bra att känna till.

Regel

Första följdsatsen

Randvinklar som spänner upp samma cirkelbåge är lika stora oavsett var de placeras.

Foljderavrandvinkelsatsen misc 1.svg
Regel

Andra följdsatsen

En randvinkel som dras från två ändpunkter av en diameter, dvs. som spänner upp en halvcirkelbåge, är alltid rät.

Foljderavrandvinkelsatsen misc 2.svg
Regel

Tredje följdsatsen

För en fyrhörning inskriven i en cirkel, dvs. hörnen ligger på cirkelns rand, är summan av motstående vinklar 180.\mathbf{180^\circ}.

Foljeravrandvinkelsatsen misc 3.svg
Uppgift

I den inskrivna fyrhörningen ABCDABCD är vinkeln ABCABC 105.105^\circ. Bestäm fyrhörningens övriga vinklar.

cirkel med inskriven fyrhörning
Visa lösning Visa lösning
Bevis

Bevis för randvinkelsatsen

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Bevis

Fall 1

Bevis

Fall 2

Bevis

Fall 3

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}