Klassisk geometri

Randvinkelsatsen

Teori

Medelpunktsvinkel

I en cirkel bildas en medelpunktsvinkel mellan två radier. Både uu och vv är medelpunktsvinklar.

cirkel med medelpunktsvinkel

Randvinkel

Två linjer som dras från en cirkelbåges ändpunkter och möts i en tredje punkt på cirkelns rand bildar en randvinkel. De tre gröna vinklarna är randvinklar.

cirkel med randvinklar och cirkelbåge
Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen är randvinklar till samma cirkelbåge lika stora.

Randvinkelsatsen

Medelpunktsvinkeln uu och randvinkeln vv spänner upp samma cirkelbåge.

cirkel med medelpunkts- och randvinkel på samma cirkelbåge

Enligt randvinkelsatsen är då uu dubbelt så stor som vv.

u=2vu=2v

Satsen kan bevisas med yttervinkelsatsen och delas upp i tre fall beroende på hur linjerna som bildar randvinkeln har dragits.

Exempel

Bestäm vinklarna med randvinkelsatsen

Följder av randvinkelsatsen

Från randvinkelsatsen följer några andra samband som kan vara bra att känna till.

Randvinklar som spänner upp samma cirkelbåge är lika stora oavsett var de placeras.

En randvinkel som dras från två ändpunkter av en diameter, dvs. som spänner upp en halvcirkelbåge, är alltid rät.

För en fyrhörning inskriven i en cirkel, dvs. hörnen ligger på cirkelns rand, är summan av motstående vinklar 180.\mathbf{180^\circ}.

Exempel

Bestäm vinklarna i fyrhörningen

Bevis för randvinkelsatsen

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Bevis

Fall 1

Bevis

Fall 2

Bevis

Fall 3