Räta linjers egenskaper

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En rät linjes riktningskoefficient kan användas till mer än att beskriva lutningen. Det finns exempelvis särskilda samband mellan räta linjers kk-värden som kan utnyttjas för att avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta.
Regel

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på kk-form innebär det att deras kk-värden, k1k_1 och k2,k_2, är samma.

k1=k2 k_1 = k_2

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma mm-värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.
Uppgift

Är den räta linjen som går igenom punkterna (1,2)(1,2) och (3,8)(3,8) parallell med linjen y=3x+5?y=3x+5?

Visa lösning Visa lösning
Regel

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln 9090^\circ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter, k1k_1 och k2,k_2, lika med -1.\text{-} 1.

k1k2=-1k_1\cdot k_2=\text{-} 1

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras kk-värden. Om produkten blir -1\text{-}1 är de vinkelräta.
Uppgift

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Allmän form - rät linje

Alla linjer går inte att skriva på kk-form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala.

ax+by+c=0ax+by+c=0

Flera kombinationer av konstanterna aa, bb och cc kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Löser man ut yy får man linjen skriven på kk-form.
Uppgift

Skriv den räta linjen 2y+84x=02y+8-4x=0kk-form.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Skriv linjen y=0.4x7y=0.4x-7 på allmän form.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast kk-form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt (x1,y1)\left(x_1,y_1\right) som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)

Sätter man in de kända koordinaterna x1x_1 och y1y_1 i enpunktsformen och löser ut yy får man linjen på kk-form.

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}

{{ subject.displayTitle }}
En rät linjes riktningskoefficient kan användas till mer än att beskriva lutningen. Det finns exempelvis särskilda samband mellan räta linjers kk-värden som kan utnyttjas för att avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta.
Regel

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på kk-form innebär det att deras kk-värden, k1k_1 och k2,k_2, är samma.

k1=k2 k_1 = k_2

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma mm-värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.
Uppgift

Är den räta linjen som går igenom punkterna (1,2)(1,2) och (3,8)(3,8) parallell med linjen y=3x+5?y=3x+5?

Visa lösning Visa lösning
Regel

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln 9090^\circ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter, k1k_1 och k2,k_2, lika med -1.\text{-} 1.

k1k2=-1k_1\cdot k_2=\text{-} 1

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras kk-värden. Om produkten blir -1\text{-}1 är de vinkelräta.
Uppgift

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Allmän form - rät linje

Alla linjer går inte att skriva på kk-form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala.

ax+by+c=0ax+by+c=0

Flera kombinationer av konstanterna aa, bb och cc kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Löser man ut yy får man linjen skriven på kk-form.
Uppgift

Skriv den räta linjen 2y+84x=02y+8-4x=0kk-form.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Skriv linjen y=0.4x7y=0.4x-7 på allmän form.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast kk-form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt (x1,y1)\left(x_1,y_1\right) som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)

Sätter man in de kända koordinaterna x1x_1 och y1y_1 i enpunktsformen och löser ut yy får man linjen på kk-form.
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} chrome_reader_mode
{{ 'mldesktop-selftest-label' | message }}
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}