Räta linjers egenskaper

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En rät linjes riktningskoefficient kan användas till mer än att beskriva lutningen. Det finns exempelvis särskilda samband mellan räta linjers kk-värden som kan utnyttjas för att avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta.
Regel

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på kk-form innebär det att deras kk-värden, k1k_1 och k2,k_2, är samma.

k1=k2 k_1 = k_2

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma mm-värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.
Uppgift

Är den räta linjen som går igenom punkterna (1,2)(1,2) och (3,8)(3,8) parallell med linjen y=3x+5?y=3x+5?

Visa lösning Visa lösning
Regel

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln 9090^\circ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter, k1k_1 och k2,k_2, lika med -1.\text{-} 1.

k1k2=-1k_1\cdot k_2=\text{-} 1

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras kk-värden. Om produkten blir -1\text{-}1 är de vinkelräta.
Uppgift

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Allmän form - rät linje

Alla linjer går inte att skriva på kk-form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala.

ax+by+c=0ax+by+c=0

Flera kombinationer av konstanterna aa, bb och cc kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Löser man ut yy får man linjen skriven på kk-form.
Uppgift

Skriv den räta linjen 2y+84x=02y+8-4x=0kk-form.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Skriv linjen y=0.4x7y=0.4x-7 på allmän form.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast kk-form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt (x1,y1)\left(x_1,y_1\right) som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)

Sätter man in de kända koordinaterna x1x_1 och y1y_1 i enpunktsformen och löser ut yy får man linjen på kk-form.

Härledning

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

De räta linjerna i koordinatsystemet är parallella. Vilken lutning har linjerna?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rät linje beskrivs av ekvationen 10x+2y11=0.10x + 2y - 11 = 0.


a

På vilken form står linjens ekvation?

b

Skriv linjens ekvation på kk-form.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv ekvationerna på kk-form.

a

3x4y+2=03x-4y+2=0

b

15x+10y5=015x+10y-5=0

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv de räta linjernas ekvationer på kk-form.

a

10x5y+20=010x - 5y + 20 = 0

b

3x+y7=03x + y - 7 = 0

c

-x+2y+18=0\text{-} x + 2y + 18 = 0

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linje L1L_1 ritas genom punkterna AA och B.B. En annan linje L2L_2 ritas genom punkterna CC och D.D.

Är linjerna L1L_1 och L2L_2 parallella? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT12 2b/2c
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linje går genom punkterna (0,0)(0,0) och (3,6.45).(3,6.45). En annan linje har ekvationen y=2.15x+3.y=2.15x+3. Visa att linjerna är parallella.

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av dessa linjer är parallella? y1=4x+3y2=x+2y3=3+x y_1 = 4x + 3 \qquad y_2 = x + 2 \qquad y_3 = 3 + x y4=14xy5=4+4xy6=-x+5 y_4 = 1 - 4x \qquad y_5 = 4 + 4x \qquad y_6 = \text{-} x + 5

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande linjer är parallella? y1=0.5x+50y2=0.9x1y3=0.75x+2 y_1=0.5x+50 \quad y_2=0.9x-1 \quad y_3=0.75x+2 y4=1820x11y5=34x+11y6=24x+700 y_4=\dfrac{18}{20}x-11 \quad y_5=\dfrac{3}{4}x+11 \quad y_6 =\dfrac{2}{4}x+700

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av linjerna är parallella? 4x+y+2=02y+4=8x8x=62y. 4x + y + 2 = 0 \qquad 2y + 4 = 8x \qquad 8x = 6 - 2y.

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv en funktion på allmän form som beskriver grafen.

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv y=53x4y = \frac{5}{3} x - 4 på allmän form, ax+by+c=0.ax+by+c=0.

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv ekvationerna på allmän form.


a

y=8x3y=8-\dfrac{x}{3}

b

x=3x=3

1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linjär funktion går genom punkterna (2,6)(2,6) och (8,6).(8,6). Skriv linjens ekvation på allmän form.

1.14
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rät linje har riktningskoefficienten -3\text{-} 3 och går igenom punkten (2,13)(2,13). Ange linjens ekvation först på enpunktsform och skriv sedan om den till kk-form.

1.15
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är följande linjer vinkelräta?


a

y=9x+2y=9x+2 och y=-0.1x+10y=\text{-} 0.1x+10

b

y=0.125x+1y=0.125x+1 och y=-8x9y=\text{-} 8x-9

1.16
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm aa så att y=ax+2y=ax+2 och y=3x8y=3x-8 blir

a

parallella.

b

vinkelräta.

1.17
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns en rät linje.

a

Bestäm kk-värdet för en linje som är parallell med den blå linjen. Rita även ett exempel på en sådan linje i koordinatsystemet.

b

Bestäm kk-värdet för en linje som är vinkelrät med den blå linjen. Rita även ett exempel på en sådan linje i koordinatsystemet.

1.18
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Arthur påstår att det är onödigt att skriva ut båda linjerna 4y+12x+20=0och12y+36x+60=0 4y+12x+20=0 \quad \text{och} \quad 12y+36x+60=0 eftersom det egentligen är samma linje. Har han rätt?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rät linje LL går igenom punkten (6,1)(6,1) och är parallell med linjen y=-2x+3.y = \text{-} 2x + 3. Skriv ekvationen för linjen LLkk-form.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linje L1L_1 är parallell med linjen L2L_2 vars ekvation är y=4x5. y = 4x - 5. Du vet även att L1L_1 går genom punkten (4,17)(4, 17). Ange linjen L1L_1:s ekvation.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Annika säger att de två linjerna i koordinatsystemet är parallella. Har Annika rätt?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den linjära funktionen f(x)f(x) går igenom punkterna (8,3)(8,3) och (1,-4).(1, \text{-} 4). Funktionen g(x)g(x) är parallell med f(x)f(x) och går igenom punkten (12,20).(12,20). Bestäm ekvationen till g(x).g(x).

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Linjen y=79x5y=\frac{7}{9}x-5 är vinkelrät mot en annan linje som går igenom punkterna (a,5)(a,5) och (2,9).(2,9). Bestäm den okända koordinaten aa. Svara exakt.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att man kan dra en linje igenom två av punkterna A=(3,1),A=(3,1), B=(2,3),B=(2,3), C=(3,6)C=(3,6) och D=(5,7)D=(5,7) och en till linje genom de andra två punkterna så att linjerna blir parallella.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet på a.a.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
I koordinatsystemet visas graferna till den linjära funktionen y=f(x)y=f(x) och andragradsfunktionen y=g(x)y=g(x).

Avläs i figuren och besvara frågorna.

a

Bestäm g(2).g(2).

b

För vilka värden på xx gäller att f(x)<g(x)?f(x)<g(x)?

c

Ange ekvationen för en rät linje som inte skär någon av graferna till funktionerna.

Nationella provet VT12 2b/2c
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen till en linjär funktion går igenom punkterna P1=(a,4a) och P2=(a2,(2a)2). P_1 = (a, 4a) \quad \text{ och } \quad P_2 = \left({a}^{2},{(2a)}^{2}\right).


a

Bestäm linjens ekvation.

b

Beräkna koordinaterna för punkterna P1P_1 och P2P_2 om a=3a = 3.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Linjen genom punkterna (2,a)(2,a) och (4,b)(4, b) är vinkelrät mot linjen x4y=0.x-4y=0. Ge ett exempel på värden som koordinaterna aa och bb kan ha.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När går det inte att skriva linjen ax+by+c=0ax+by+c=0kk-form? Motivera ditt svar.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}