Linjära ekvationer och ekvationssystem

Räta linjers egenskaper

Teori

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad kk-form.

y=kx+my=kx+m

kk- och mm-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. kk anger lutningen och mm är det yy-värde där linjen skär yy-axeln. I koordinatsystemet har linjen kk-värdet 22 och mm-värdet 1.1.

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning och inga gemensamma punkter. Det betyder att de aldrig skär varandra. För linjer skrivna på kk-form innebär det att deras kk-värden, k1k_1 och k2,k_2, är samma.

k1=k2 k_1 = k_2

Parallella linjer i koordinatsystem har inte samma mm-värde eftersom de då blir identiska och får oändligt många skärningspunkter.

Exempel

Är linjerna parallella?

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln 9090^\circ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter, k1k_1 och k2,k_2, lika med -1.\text{-} 1.

k1k2=-1k_1\cdot k_2=\text{-} 1

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras kk-värden. Om produkten blir -1\text{-}1 är de vinkelräta.

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Allmän form - rät linje

Allmän form är ett sätt att skriva ekvationen för alla räta linjer, inklusive vertikala linjer som inte kan beskrivas med kk-form. En rät linje skriven på allmän form har följande generella ekvation.

ax+by+c=0ax+by+c=0

I ekvationen är aa, bb och cc konstanter. Flera kombinationer av konstanter kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna, men 00 är alltid ensamt i högerledet. Löser man ut yy får man linjen skriven på kk-form.

Exempel

Omvandla från allmän form till kk-form

Exempel

Omvandla från kk-form till allmän form

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast kk-form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt (x1,y1)\left(x_1,y_1\right) som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)

Sätter man in de kända koordinaterna x1x_1 och y1y_1 i enpunktsformen och löser ut yy får man linjen på kk-form.

Härledning

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)