{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Linjära ekvationer och ekvationssystem

Räta linjers egenskaper

Teori

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad kk-form.

y=kx+my=kx+m

kk- och mm-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. kk anger lutningen och mm är det yy-värde där linjen skär yy-axeln. I koordinatsystemet har linjen kk-värdet 22 och mm-värdet 1.1.

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning och inga gemensamma punkter. Det betyder att de aldrig skär varandra. För linjer skrivna på kk-form innebär det att deras kk-värden, k1k_1 och k2,k_2, är samma.

k1=k2 k_1 = k_2

Parallella linjer i koordinatsystem har inte samma mm-värde eftersom de då blir identiska och får oändligt många skärningspunkter.

Exempel

Är linjerna parallella?

Är den räta linjen som går igenom punkterna (1,2)(1,2) och (3,8)(3,8) parallell med linjen y=3x+5?y=3x+5?

För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma kk-värde. Den räta linjen y=3x+5y=3x+5 har kk-värdet 3.3. Vi beräknar den okända linjens riktningskoefficient genom att sätta in de kända punkterna i kk-formeln.

k=y2y1x2x1k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
Sätt in (3,8)\left({\color{#0000FF}{3,8}}\right) & (1,2)\left({\color{#009600}{1,2}}\right)
k=8231k = \dfrac{{\color{#0000FF}{8}}-{\color{#009600}{2}}}{{\color{#0000FF}{3}}-{\color{#009600}{1}}}
k=62k=\dfrac{6}{2}
k=3k=3

Linjerna har samma kk-värde, 3.3. Den sökta linjen har formen y=3x+m. y=3x+m. För att vara parallella måste de även ha olika mm-värden, annars är det ju samma linje. Vi beräknar mm-värdet genom att sätta in kk samt xx- och yy-värdet från en punkt vi vet ligger på linjen, t.ex. (1,2),(1,2), i linjens ekvation.

y=3x+my=3x+m
x=1x={\color{#0000FF}{1}}, y=2y={\color{#009600}{2}}
2=31+m{\color{#009600}{2}}=3 \cdot {\color{#0000FF}{1}}+m
2=3+m2=3+m
-1=m\text{-}1=m
m=-1m=\text{-}1

Linjen genom punkterna har mm-värdet -1\text{-}1 vilket ger den ekvationen y=3x1. y=3x-1. Denna linje och y=3x+5y=3x+5 har samma kk-värde men olika mm-värden och är därmed parallella.

Visa mer

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln 9090^\circ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter, k1k_1 och k2,k_2, lika med -1.\text{-} 1.

k1k2=-1k_1\cdot k_2=\text{-} 1

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras kk-värden. Om produkten blir -1\text{-}1 är de vinkelräta.

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Två linjer är vinkelräta om produkten av deras kk-värden är -1,\text{-}1, dvs. om k1k2=-1. k_1 \cdot k_2 =\text{-}1. Vi börjar därför med att bestämma linjernas kk-värden, dvs. lutningarna. Vi kan kalla den blå linjen för linje 1 och den röda för linje 2. Den blå linjen rör sig 2 steg nedåt då den rör sig 1 steg åt höger, alltså är lutningen k1=-2.k_1=\text{-}2.

Den röda linjens kk-värde får vi genom att dividera skillnaden i yy-led mellan två punkter på linjen med skillnaden i xx-led. Den andra linjens lutning är då k2=ΔyΔx=25=0.4. k_2=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2}{5}=0.4. Till sist multiplicerar vi kk-värdena.

k1k2k_1 \cdot k_2
k1=-2k_1={\color{#0000FF}{\text{-}2}}, k2=0.4k_2={\color{#009600}{0.4}}
-20.4{\color{#0000FF}{\text{-} 2}} \cdot {\color{#009600}{0.4}}
-0.8\text{-} 0.8

Produkten blev inte -1,\text{-}1, så linjerna är inte vinkelräta mot varandra.

Visa mer

Allmän form - rät linje

Allmän form är ett sätt att skriva ekvationen för alla räta linjer, inklusive vertikala linjer som inte kan beskrivas med kk-form. En rät linje skriven på allmän form har följande generella ekvation.

ax+by+c=0ax+by+c=0

I ekvationen är aa, bb och cc konstanter. Flera kombinationer av konstanter kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna, men 00 är alltid ensamt i högerledet. Löser man ut yy får man linjen skriven på kk-form.

Exempel

Omvandla från allmän form till kk-form

Skriv den räta linjen 2y+84x=02y+8-4x=0kk-form.

För att skriva om linjen till kk-form löser vi ut y.y.

2y+84x=02y+8-4x=0
2y+8=4x2y+8=4x
2y=4x82y=4x-8
y=2x4y=2x-4

Den räta linjen är alltså y=2x4y=2x-4kk-form.

Visa mer

Exempel

Omvandla från kk-form till allmän form

Skriv linjen y=0.4x7y=0.4x-7 på allmän form.

När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och om det är möjligt, låter koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi multiplicerar först alla termer med 10 för att få heltal och flyttar sedan över dem till vänsterledet.

y=0.4x7y=0.4x-7
10y=4x7010y=4x-70
5y=2x355y=2x-35
5y2x=-355y-2x=\text{-}35
5y2x+35=05y-2x+35=0

På allmän form får man alltså 5y2x+35=0.5y-2x+35=0.

Visa mer

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast kk-form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt (x1,y1)\left(x_1,y_1\right) som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)

Sätter man in de kända koordinaterna x1x_1 och y1y_1 i enpunktsformen och löser ut yy får man linjen på kk-form.

Härledning

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)

Enpunktsform är egentligen bara en omskrivning av formeln för att beräkna en linjes riktningskoefficient.

k=y2y1x2x1k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
k(x2x1)=y2y1k\left(x_2-x_1\right) = y_2-y_1
y2y1=k(x2x1)y_2-y_1 = k(x_2-x_1)
Den specifika punkten (x2,y2)(x_2,y_2) byts sedan ut till den allmänna (x,y)(x,y), vilket ger enpunktsformen.
Visa mer

Uppgifter