{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Geometri

Räkna med vektorer

Teori

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna "på rad," alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa, och sedan rita en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har v,u\vec{v}, \, \vec{u} och z\vec{z} adderats för att bilda resultanten r.\vec{r}.

Byt ordning

Ordningen man lägger vektorerna i spelar ingen roll. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.

Addera vektorer

Eftersom vektorer både har storlek och riktning måste vi ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna u=(4,0)\vec{u}=(4,0) och v=(5,0)\vec{v}=(5,0) har samma riktning, så resultanten r=u+v\vec{r}=\vec{u}+\vec{v} kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Resultanten får koordinaterna (4,0),(4,0), dvs. summan av u\vec{u} och v\vec{v}:s respektive koordinater. Vid addition av två eller flera godtyckliga vektorer adderas xx- och yy-koordinaterna var för sig. Denna regel för vektoraddition brukar skrivas på följande sätt.

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Om vektorerna w=(4,2)\vec w=(4,2) och z=(2,3)\vec z=(2,3) adderas, kan vi skriva resultanten som Det kan även göras grafiskt genom att rita ut resultanten av vektorerna som adderas och läsa av dess koordinater.

Addera vektorer

Återställ

Exempel

Addera två vektorer

Addera vektorerna u\vec{u} och v\vec{v}.

Vi kan addera vektorerna på två sätt, algebraiskt och grafiskt. Vi visar båda.

Algebraiskt
När man adderar vektorer ska xx-koordinater adderas för sig och y-koordinaterna för sig. Vi börjar alltså med att bestämma vektorernas koordinatform genom att mäta skillnaden i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkterna.

Nu kan vi skriva vektorernas koordinatformer som (-3,2)(\text{-}3,2) och (3,4)(3,4) och adderar dem.

u+v\vec{u}+\vec{v}
Sätt in (3,2)\left({\color{#0000FF}{3,2}}\right) & (2,-3)\left({\color{#009600}{2,\text{-} 3}}\right)
(3,2)+(2,-3)({\color{#0000FF}{3,2}})+({\color{#009600}{2,\text{-} 3}})
(3+2,2+(-3))(3+2,2+(\text{-} 3))
(3+2,23)(3+2,2-3)
(5,-1)(5,\text{-} 1)

Summan av u\vec{u} och v\vec{v} blir alltså (5,-1).(5, \text{-} 1).

Grafiskt
Vi parallellförflyttar ena vektorn så att dess startpunkt börjar i den andra vektorns slutpunkt. Vi kan då rita resultanten från den första vektorns startpunkt till den andra vektorns slutpunkt.

Nu kan vi läsa av att resultanten, alltså de två vektorerna adderade med varandra, är (5,-1).(5, \text{-} 1).

Visa mer

Subtrahera vektorer

För att subtrahera två eller fler vektorer utnyttjas regeln för att addera vektorer. Differensen mellan två vektorer, t.ex. u=(-2,2)\vec{u}=(\text{-}2,2) och v=(2,1),\vec{v}=(2,1), kan skrivas som en addition av u\vec{u} och den negativa vektorn -v:\text{-}\vec{v}: uv=u+(-v). \vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(\text{-}\vec{v}). Vektorn -v\text{-}\vec{v} har samma storlek som v\vec{v}, men är riktad åt motsatt håll, vilket innebär att koordinaterna byter tecken. Genom att parallellförflytta en av vektorerna kan man addera dem.

Subtrahera vektor

Återställ

Resultanten uv\vec{u}-\vec{v} blev alltså (-4,1),(\text{-} 4, 1), dvs. differensen av x-x\text{-} och yy-koordinaterna för sig. Generellt skrivs regeln för subtraktion av vektorer på följande sätt.

(a,b)(c,d)=(ac,bd)(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)

Exempel

Subtrahera vektor

Subtrahera v\vec{v} från u\vec{u}.

Vi kan subtrahera vektorer på två sätt: algebraiskt och grafiskt. Vi visar båda.

Algebraiskt
När man subtraherar vektorer ska xx-koordinater subtraheras för sig och yy-koordinater för sig. Vi börjar alltså med att bestämma vektorernas koordinatform genom att mäta skillnaden i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkt.

Nu kan vi skriva vektorernas koordinatformer som (-1,2)(\text{-} 1,2) och (3,5)(3,5) och subtrahera dem.

uv\vec{u}-\vec{v}
Sätt in (3,5)\left({\color{#0000FF}{3,5}}\right) & (-1,2)\left({\color{#009600}{\text{-} 1,2}}\right)
(3,5)(-1,2)({\color{#0000FF}{3,5}})-({\color{#009600}{\text{-} 1,2}})
(3(-1),52)(3-(\text{-} 1),5-2)
a(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
(3+1,52)(3+1,5-2)
(4,3)(4,3)

Differensen mellan u\vec{u} och v\vec{v} blir (4,3).(4,3).

Grafiskt
För att subtrahera u\vec{u} från v\vec{v} grafiskt kan vi använda metoden för att addera vektorer grafiskt. Detta medför att vi först måste vända på vektorn som subtraheras så att den pekar i motsatt riktning.

Vi parallellförflyttar nu -v\text{-} \vec{v} så att dess startpunkt börjar i den andra vektorns slutpunkt och ritar resultanten.

Nu ser vi att resultanten är (4,3),(4,3), vilket alltså är differensen mellan u\vec{u} och v\vec{v}.

Visa mer

Multiplikation av skalär och vektor

När man multiplicerar en vektor med en skalär förlängs eller förkortas vektorn. Man kan säga att vektorn skalas baserat på vilket tal den multipliceras med. Exempelvis ger en multiplikation med 2 att vektorn blir dubbelt så lång. Generellt kan man skriva detta som att vektorns båda koordinater multipliceras med skalären.

a(b,c)=(ab,ac)a\cdot(b,c)=(a \cdot b,a \cdot c)

Om v=(4,2)\vec{v}=(4,2) multipliceras med talet 3 får vi den nya vektorn 3v=(34,32)=(6,4).3\vec{v}=(3\cdot 4,3\cdot 2)=(6,4). Detta kan visas grafiskt genom att se multiplikation som upprepad addition. 3v3\vec{v} är då lika med summan v+v+v\vec{v}+\vec{v}+\vec{v}.

Multiplicera med 3

Återställ

3v3\vec{v} behåller alltså sin riktning, men blir tre gånger längre. Vektorn -3v\text{-} 3\vec{v} blir lika lång som 3v,3\vec{v}, men har motsatt riktning eftersom den kan ses som 3 gånger den negativa vektorn -v\text{-} \vec{v}.

Exempel

Multiplicera skalär och vektor

Multiplicera v\vec{v} med 2 och u\vec{u} med -0.5.\text{-} 0.5.

Vi kan lösa uppgiften algebraiskt och grafiskt.

Algebraiskt
Vi börjar med att bestämma koordinatformen för båda vektorer genom att mäta skillnaden i xx- och yy-led mellan deras start- och slutpunkt.


Vektor vv har alltså koordinatformen (2,2)(2,2) och u\vec{u} har koordinatformen (6,-1)(6, \text{-} 1). Nu kan vi beräkna produkten av dem och skalärerna.

Vektor v\underline{\mathbf{\text{Vektor }\vec{v}}}

2v2\vec{v}
v=(2,2)\vec{v}={\color{#0000FF}{(2,2)}}
2(2,2)2\cdot {\color{#0000FF}{(2,2)}}
(22,22)(2\cdot 2,2\cdot2)
(4,4)(4,4)

2v2\vec{v} blev (4,4)(4,4), dvs. dubbelt så lång.

Vektor u\underline{\mathbf{\text{Vektor }\vec{u}}}

-0.5u\text{-} 0.5\vec{u}
u=(6,-1)\vec{u}={\color{#0000FF}{(6,\text{-} 1)}}
-0.5(6,-1)\text{-}0.5\cdot {\color{#0000FF}{(6,\text{-} 1)}}
(-0.56,-0.5(-1))(\text{-} 0.5\cdot 6,\text{-} 0.5\cdot(\text{-}1))
(-3,0.5)(\text{-} 3,0.5)

-0.5u\text{-} 0.5\vec{u} blev (-3,0.5)(\text{-} 3,0.5), dvs. hälften så lång.

Grafisk lösning
Beroende på om skalären är större eller mindre än 1 så ökar respektive minskar vektorns längd. Multipliceras vektorn med skalären 22 blir resultanten dubbelt så lång och multiplicerar man med 0.5 blir den hälften så lång. Eftersom -0.5\text{-} 0.5 är negativ måste vi även rotera resultanten så att den pekar i motsatt riktning.

Slutligen ritar vi resultanten och mäter skillnaden i xx- och yy-led för att bestämma koordinatformen.

Visa mer

Uppgifter