Geometri

Räkna med vektorer

Teori

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna "på rad," alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa, och sedan rita en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har v,u\vec{v}, \, \vec{u} och z\vec{z} adderats för att bilda resultanten r.\vec{r}.

Byt ordning

Ordningen man lägger vektorerna i spelar ingen roll. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.

Addera vektorer

Eftersom vektorer både har storlek och riktning måste vi ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna u=(4,0)\vec{u}=(4,0) och v=(5,0)\vec{v}=(5,0) har samma riktning, så resultanten r=u+v\vec{r}=\vec{u}+\vec{v} kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Resultanten får koordinaterna (4,0),(4,0), dvs. summan av u\vec{u} och v\vec{v}:s respektive koordinater. Vid addition av två eller flera godtyckliga vektorer adderas xx- och yy-koordinaterna var för sig. Denna regel för vektoraddition brukar skrivas på följande sätt.

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Om vektorerna w=(4,2)\vec w=(4,2) och z=(2,3)\vec z=(2,3) adderas, kan vi skriva resultanten som Det kan även göras grafiskt genom att rita ut resultanten av vektorerna som adderas och läsa av dess koordinater.

Addera vektorer

Återställ

Exempel

Addera två vektorer
Visa mer

Subtrahera vektorer

För att subtrahera två eller fler vektorer utnyttjas regeln för att addera vektorer. Differensen mellan två vektorer, t.ex. u=(-2,2)\vec{u}=(\text{-}2,2) och v=(2,1),\vec{v}=(2,1), kan skrivas som en addition av u\vec{u} och den negativa vektorn -v:\text{-}\vec{v}: uv=u+(-v). \vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(\text{-}\vec{v}). Vektorn -v\text{-}\vec{v} har samma storlek som v\vec{v}, men är riktad åt motsatt håll, vilket innebär att koordinaterna byter tecken. Genom att parallellförflytta en av vektorerna kan man addera dem.

Subtrahera vektor

Återställ

Resultanten uv\vec{u}-\vec{v} blev alltså (-4,1),(\text{-} 4, 1), dvs. differensen av x-x\text{-} och yy-koordinaterna för sig. Generellt skrivs regeln för subtraktion av vektorer på följande sätt.

(a,b)(c,d)=(ac,bd)(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)

Exempel

Subtrahera vektor
Visa mer

Multiplikation av skalär och vektor

När man multiplicerar en vektor med en skalär förlängs eller förkortas vektorn. Man kan säga att vektorn skalas baserat på vilket tal den multipliceras med. Exempelvis ger en multiplikation med 2 att vektorn blir dubbelt så lång. Generellt kan man skriva detta som att vektorns båda koordinater multipliceras med skalären.

a(b,c)=(ab,ac)a\cdot(b,c)=(a \cdot b,a \cdot c)

Om v=(4,2)\vec{v}=(4,2) multipliceras med talet 3 får vi den nya vektorn 3v=(34,32)=(6,4).3\vec{v}=(3\cdot 4,3\cdot 2)=(6,4). Detta kan visas grafiskt genom att se multiplikation som upprepad addition. 3v3\vec{v} är då lika med summan v+v+v\vec{v}+\vec{v}+\vec{v}.

Multiplicera med 3

Återställ

3v3\vec{v} behåller alltså sin riktning, men blir tre gånger längre. Vektorn -3v\text{-} 3\vec{v} blir lika lång som 3v,3\vec{v}, men har motsatt riktning eftersom den kan ses som 3 gånger den negativa vektorn -v\text{-} \vec{v}.

Exempel

Multiplicera skalär och vektor
Visa mer