{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Teori

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna "på rad", alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har v,u\vec{v}, \, \vec{u} och z\vec{z} adderats för att bilda resultanten r.\vec{r}.

Byt ordning

Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.
Teori

Addera vektorer

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna u=(4,0)\vec{u}=(4,0) och v=(5,0)\vec{v}=(5,0) har samma riktning, så resultanten r=u+v\vec{r}=\vec{u}+\vec{v} kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Resultanten får koordinaterna (9,0),(9,0), dvs. summan av u\vec{u} och v\vec{v}:s respektive koordinater. Vid addition av två eller flera godtyckliga vektorer adderas xx- och yy-koordinaterna var för sig. Denna regel för vektoraddition brukar skrivas på följande sätt.

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Om vektorerna w=(4,2)\vec w=(4,2) och z=(2,3)\vec z=(2,3) adderas, kan man skriva resultanten som w+z=(6,5).\overrightarrow{w+z}=(6,5). Det kan även göras grafiskt genom att rita ut resultanten av vektorerna som adderas och läsa av dess koordinater.

Addera vektorer

Återställ

Uppgift Visa lösning Visa lösning
Teori

Subtrahera vektorer

För att subtrahera två eller fler vektorer utnyttjas regeln för att addera vektorer. Differensen mellan två vektorer, t.ex. u=(-2,2)\vec{u}=(\text{-}2,2) och v=(2,1),\vec{v}=(2,1), kan skrivas som en addition av u\vec{u} och den negativa vektorn -v:\text{-}\vec{v}: uv=u+(-v). \vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(\text{-}\vec{v}). Vektorn -v\text{-}\vec{v} har samma storlek som v\vec{v}, men är riktad åt motsatt håll, vilket innebär att koordinaterna byter tecken. Genom att parallellförflytta en av vektorerna kan man addera dem.

Subtrahera vektor

Återställ

Resultanten uv\vec{u}-\vec{v} blev alltså (-4,1),(\text{-} 4, 1), dvs. differensen av x-x\text{-} och yy-koordinaterna för sig. Generellt skrivs regeln för subtraktion av vektorer på följande sätt.

(a,b)(c,d)=(ac,bd)(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)

Uppgift Visa lösning Visa lösning
Teori

Multiplikation av skalär och vektor

När man multiplicerar en vektor med en skalär förlängs eller förkortas vektorn. Man kan säga att vektorn skalas baserat på vilket tal den multipliceras med. Exempelvis gör en multiplikation med 2 att vektorn blir dubbelt så lång. Generellt kan man skriva detta som att vektorns båda koordinater multipliceras med skalären.

a(b,c)=(ab,ac)a\cdot(b,c)=(a \cdot b,a \cdot c)

Om v=(4,2)\vec{v}=(4,2) multipliceras med talet 33 får man den nya vektorn 3v=(34,32)=(12,6).3\vec{v}=(3\cdot 4,3\cdot 2)=(12,6). Detta kan visas grafiskt genom att se multiplikation som upprepad addition. 3v3\vec{v} är då lika med summan v+v+v\vec{v}+\vec{v}+\vec{v}.

Multiplicera med 3

Återställ

3v3\vec{v} har alltså samma riktning som v\vec{v}, men är tre gånger längre.

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}