Integraler

Räkna med integraler

Teori

Ibland vill man bestämma värdet av en integral som inte enkelt kan beräknas genom att summera areor av kända figurer. Om man känner till funktionsuttrycket kan integralen beräknas algebraiskt med en av funktionens primitiva funktioner.

Samband mellan derivata och integral

En integral kan tolkas som en area. T.ex. kan 05f(t)dt \displaystyle\int_{0}^{5}f(t) \, \text d t tolkas som arean av området mellan grafen till f(t)f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen t=5.t=5.

Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion ff kommer arean på området mellan koordinataxlarna och f(t)f(t) enbart att bero på den övre integrationsgränsen. Genom att låta den vara xx kan man definiera en areafunktion, A(x)=0xf(t)dt A(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) \, \text d t som beräknar arean av området mellan f(t)f(t) och tt-axeln mellan 00 och x.x. Med hjälp av areaberäkningar och derivatans definition kan man visa att A(x)=F(x)därF(x)=f(x), A(x)=F(x) \quad \text{där} \quad F'(x)=f(x),

dvs. att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden.

Integralkalkylens huvudsats

Integralen av en funktion f(x),f(x),intervallet axb,a\leq x \leq b, kan beräknas med någon av funktionens primitiva funktioner F(x).F(x). För att beräkna integralen bestämmer man differensen av den primitiva funktionens värde för den övre integrationsgränsen och motsvarande värde för den undre gränsen.

Regel

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,\text{d}x=F(b)-F(a)

Beräkna integral med primitiv funktion

När man beräknar integraler kan man använda sig av integralkalkylens huvudsats. T.ex. kan man beräkna integralen 13(3x2+2)dx, \int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx, på detta sätt.

Först bestämmer man en primitiv funktion till integranden, dvs. till den funktion som ska integreras.

f(x)=3x2+2f(x)=3x^2+2
F(x)=D-1(3x2)+D-1(2)F(x)=D^{\text{-}1}\left(3x^2\right)+D^{\text{-}1}(2)
F(x)=3x33+D-1(2)F(x)=\dfrac{3x^3}{3}+D^{\text{-}1}(2)
F(x)=3x33+2xF(x)=\dfrac{3x^3}{3}+2x
F(x)=x3+2xF(x)=x^3+2x

Nu sätts integrationsgränserna in i den primitiva funktionen och man beräknar differensen.

13(3x2+2)dx\displaystyle\int_{1}^{3}\left(3x^2+2 \right) \, \text d x
abf(x) dx=[F(x)]ab\displaystyle \int_a^b f(x) \ \text dx=[F(x)]_a^b
[x3+2x]13\left[x^3+2x\right]_1^3
[F(x)]13=F(3)F(1)\left[F(x)\right]_{{\color{#009600}{1}}}^{\color{#0000FF}{3}}=F\left({\color{#0000FF}{3}}\right)-F\left({\color{#009600}{1}}\right)
33+23(13+21){\color{#0000FF}{3}}^3+2\cdot{\color{#0000FF}{3}}-\left({\color{#009600}{1}}^3+2\cdot{\color{#009600}{1}}\right)
27+6(1+2)27+6-(1+2)
27+61227+6-1-2
3030

Integralen 13(3x2+2)dx\int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx är alltså lika med 30.30.

Exempel

Beräkna integralen

Digitala verktyg

Integralens värde på räknare