{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Bevis för randvinkelsatsen

För en randvinkel och en medelpunktsvinkel som spänner upp samma cirkelbåge ger randvinkelsatsen att sambandet mellan dem är u=2v.u = 2v.

cirkel med randvinkel och medelpunktsvinkel

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Bevis

Fall 1

Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel

Triangeln som skapas är likbent eftersom två av benen är radier. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Yttervinkelsatsen ger u=v+v=2v. u = v + v =2v.

Visa mer

Bevis

Fall 2

I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.

cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar

Ser man den inlagda diametern som ett vinkelben både till randvinkeln och medelpunktsvinkeln kan man nu tolka denna nya figur som två exempel av fall 1. Beviset därifrån ger då att u1=2v1ochu2=2v2. u_1 = 2v_1 \quad \text{och} \quad u_2 = 2v_2. Den ursprungliga medelpunktsvinkeln uu är summan av u1u_1 och u2u_2 och på samma sätt är v=v1+v2v = v_1 + v_2. Detta används för att ta fram ett uttryck för u.u.

u=u1+u2u = u_1 + u_2
u1=2v1u_1={\color{#0000FF}{2v_1}}, u2=2v2u_2={\color{#009600}{2v_2}}
u=2v1+2v2u = {\color{#0000FF}{2v_1}} + {\color{#009600}{2v_2}}
u=2(v1+v2)u = 2(v_1 + v_2)
v1+v2=vv_1 + v_2={\color{#0000FF}{v}}
u=2vu = 2{\color{#0000FF}{v}}
Visa mer

Bevis

Fall 3

Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.

två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar

Sambandet från fall 1 kan nu användas igen: u1=2v1ochu2=2v2. u_1 = 2v_1 \quad \text{och} \quad u_2 = 2v_2. Vinkeln v1v_1(blå) kan nu skrivas som summan av v2v_2(röd) och randvinkeln vv (grön), dvs. v1=v+v2,v_1=v+v_2, vilket betyder att v=v1v2.v=v_1-v_2.

cirkel med summan av två vinklar

På samma sätt är u=u1u2.u=u_1-u_2. Detta används för att bevisa randvinkelsatsen även för detta fall.

u=u1u2u = u_1 - u_2
u1=2v1u_1={\color{#0000FF}{2v_1}}, u2=2v2u_2={\color{#009600}{2v_2}}
u=2v12v2u = {\color{#0000FF}{2v_1}} - {\color{#009600}{2v_2}}
u=2(v1v2)u = 2(v_1 - v_2)
v1v2=vv_1 - v_2={\color{#0000FF}{v}}
u=2vu = 2{\color{#0000FF}{v}}

Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.

Q.E.D.
Visa mer