Bevis

Pythagoras sats

För en rätvinklig triangel med hypotenusan $c$ och kateterna $a$ och $b$ säger Pythagoras sats att $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Vi skriver in triangeln i en cirkel med radien $c$ och drar några användbara streck.

Betrakta nu den röda och den gröna triangeln nedan. Båda är rätvinkliga, och båda delar en vinkel med den rätvinkliga triangel som bildas om man slår ihop de två trianglarna. Det innebär att både den gröna och den röda triangeln är likformiga med den totala triangeln.

Den röda och den gröna triangeln är alltså likformiga med samma triangel, och då är de även likformiga med varann. Eftersom de är likformiga är kvoten mellan motsvarande sidor konstant:

\frac{Gr o ¨ n l a ˚ ngsida}{R o ¨ d l a ˚ ngsida} = \frac{Gr o ¨ n kortsida}{R o ¨ d kortsida} .

Dessa sidlängder står markerade i figuren, så vi sätter in dem.

\frac{Gr o ¨ n l a ˚ ngsida}{R o ¨ d l a ˚ ngsida} = \frac{Gr o ¨ n kortsida}{R o ¨ d kortsida}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

\frac{c + a}{b} = \frac{b}{c - a}

MultEqn

$VL \cdot b = HL \cdot b$

c + a = \frac{b ^{2}}{c - a}

MultEqn

$VL \cdot (c - a) = HL \cdot (c - a)$

(c + a) (c - a) = b^{2}

ExpandDiffSquares

Utveckla med konjugatregeln

c^{2} - a^{2} = b^{2}

AddEqn

$VL + a^{2} = HL + a^{2}$

c^{2} = a^{2} + b^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Då har vi fått fram att $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Q.E.D.

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Bevis

Pythagoras sats

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}