{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Pythagoras sats

För en rätvinklig triangel med hypotenusan cc och kateterna aa och bb säger Pythagoras sats att a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

Proof Pythagoras sats1.svg

Vi skriver in triangeln i en cirkel med radien cc och drar några användbara streck.

Proof Pythagoras sats2.svg

Betrakta nu den röda och den gröna triangeln nedan. Båda är rätvinkliga, och båda delar en vinkel med den rätvinkliga triangel som bildas om man slår ihop de två trianglarna. Det innebär att både den gröna och den röda triangeln är likformiga med den totala triangeln.

Proof Pythagoras sats3.svg

Den röda och den gröna triangeln är alltså likformiga med samma triangel, och då är de även likformiga med varann. Eftersom de är likformiga är kvoten mellan motsvarande sidor konstant:

Dessa sidlängder står markerade i figuren, så vi sätter in dem.

Sätt in uttryck
c+ab=bca\dfrac{c+a}{b} = \dfrac{b}{c-a}
c+a=b2cac+a = \dfrac{b^2}{c-a}
(c+a)(ca)=b2(c+a)(c-a) = b^2
c2a2=b2c^2-a^2 = b^2
c2=a2+b2c^2 = a^2+b^2
a2+b2=c2a^2+b^2 = c^2

Då har vi fått fram att a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

Q.E.D.