Mantelarea kon

När manteln på en kon plattas till bildas en cirkelsektor med radie ss och en båglängd som är lika stor som basytans omkrets, dvs. 2πr2\pi r.

Mantelarea kon1.svg

Cirkelbågen är som sagt 2πr2\pi r lång. Om vi förlänger cirkelbågen så att vi får en cirkel hade area och omkrets blivit πs2\pi s^2 och 2πs2\pi s som i nedanstående figur.

Mantelarea kon2.svg

Cirkelbågens längd är direkt proportionell mot cirkelsektorns area. Om cirkelsektorn t.ex. är en halvcirkel blir både arean och båglängden hälften så stora som om det varit en helcirkel. Om vi delar cirkelsektorns area (AA) med cirkelns area πs2\pi s^2 får vi därför samma förhållande som om vi delar cirkelbågens längd 2πr2\pi r med cirkelns omkrets 2πs2\pi s. Vi får ekvationen: Aπs2=2πr2πs. \dfrac{A}{\pi s^2}=\dfrac{2\pi r}{2\pi s}. Vi löser ut AA i ovanstående ekvation.

Aπs2=2πr2πs\dfrac{A}{\pi s^2}=\dfrac{2\pi r}{2\pi s}
Aπs2=rs\dfrac{A}{\pi s^2}=\dfrac{r}{s}
A=πs2rsA=\dfrac{\pi s^2 r}{s}
A=πsrA=\pi s r

Manteln har alltså arean πsr\pi s r.