Procentuella förändringar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Procent

Ett vanligt sätt att beskriva andelar är med procent, som skrivs med ett procenttecken, %,\%, och anger hundradelar. Förutom att använda %\% kan man även skriva procent som ett bråk eller som ett decimaltal.

Procent Bråk Decimaltal
1% 1 \, \% 1100\dfrac{1}{100} 0.01 0.01
45% 45 \, \% 45100\dfrac{45}{100} 0.45 0.45
135% 135 \, \% 135100\dfrac{135}{100} 1.35 1.35

Decimaltal kan enkelt skrivas om som procent genom att man multiplicerar dem med 100.100. Bråk kan däremot vara svårare att direkt göra om till procent. Hur många procent är t.ex. 325?\frac{3}{25}? Om det är möjligt att förlänga eller förkorta bråket så att nämnaren blir 100100 kan man dock läsa av procentsatsen direkt i täljaren: 34254=12100=12%. \dfrac{3 \cdot {\color{#0000FF}{4}}}{25 \cdot {\color{#0000FF}{4}}}=\dfrac{12}{100}= 12\, \%.

En tiondels procent kallas promille eller tusendel. En annan vanlig enhet är ppm som står för miljondel.
Uppgift

Skriv 13.5%13.5\, \% i decimalform.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Skriv talet 1.121.12 i procentform.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Procentenhet

Procentenheter används för att uttrycka skillnaden mellan två procentsatser. Man använder ordet procentenheter för att undvika förvirring när man säger saker som "Partiets vljarstd kade med 4 procent."a¨o¨o¨ \text{"Partiets väljarstöd ökade med 4 procent."} Betyder det att antalet väljare ökade med 4%4\,\% jämfört med det tidigare stödet för partiet, exempelvis från 100000100\,000 väljare till 104000,104\,000, eller menar man att väljarstödet har ökat från t.ex. 5%5\,\% till 9%?9\,\%? Om man säger "Partiets vljarstd kade med 4 procentenheter,"a¨o¨o¨ \text{"Partiets väljarstöd ökade med 4 procentenheter,"}

råder det ingen tvekan om att det är den andra situationen man menar.
Regel

Förändringsfaktor

En förändringsfaktor är ett tal som beskriver hur ett värde förändras, t.ex. att det ökar med 20%20\,\% eller minskar med 35%.35\,\%. Förändringsfaktorn skrivs oftast i decimalform och kan tolkas som hur stor andel det nya värdet utgör av det gamla. Den beräknas som kvoten mellan värdet efter förändringen (nya värdet) och värdet före förändringen (gamla värdet).

Frndringsfaktoro¨a¨=Nya vrdeta¨Gamla vrdeta¨\text{Förändringsfaktor}=\dfrac{\text{Nya värdet}}{\text{Gamla värdet}}

Om förändringsfaktorn är större än 11 innebär det att värdet har ökat och om den är mindre än 11 betyder det att värdet har minskat.
Att förändringsfaktorn är 1.21.2 betyder att värdet ökar med 20%20\,\% och att det nya värdet alltså är 120%120\,\% av det gamla. På samma sätt betyder en förändringsfaktor som är 0.80.8 att värdet minskar med 20%.20\,\%. Den procentuella förändringen går alltså att läsa av i hur många hundradelar förändringsfaktorn skiljer sig från 1.1.
Uppgift
Ange förändringsfaktorn om priset på en tröja ökar respektive minskar med 35%.35\,\%.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Priset på en lampa ökar från 125125 kr till 150150 kr. Vad är den procentuella ökningen?

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Upprepade procentuella förändringar

För att beräkna en procentuell förändring av ett värde multiplicerar man det en förändringsfaktor. Om värdet sedan ökar eller minskar igen multiplicerar man resultatet av den första förändringen med förändringsfaktorn för den andra ändringen. Ett exempel på en sådan upprepad procentuell förändring är om priset på en liter mjölk, x,x, först ökar med 10%,10\,\%, x1.10, x \cdot 1.10, för att sedan öka igen med 20%.20\,\%. Då multiplicerar man resultatet från första ökningen med den nya förändringsfaktorn, 1.201.20: x1.101.20. x \cdot 1.10 \cdot 1.20. Multiplicerar man ihop de två förändringsfaktorerna får man 1.101.20=1.32,1.10 \cdot 1.20 = 1.32, vilket kan tolkas som en total förändringsfaktor för båda ändringarna. Det är alltså möjligt att bestämma att priset totalt ökar med 32%32\,\% utan att veta det ursprungliga priset på mjölken.

Begrepp

Lika stora procentuella förändringar

Är de procentuella förändringarna lika stora kan man skriva den totala förändringen som en potens. Exempelvis kan en ökning med 45 % tre år i rad skrivas som 1.451.451.451.45\cdot1.45\cdot1.45 vilket är samma sak som 1.453.1.45^3.
Uppgift

Priset på en begagnad byrå är 10001000 kr. Under en rea sänks priset först med 20%20 \, \% och sedan en gång till med 30%30 \, \% på reapriset. Ägaren får inte byrån såld så han målar om den och höjer priset med 50%.50 \, \%. Vad är det slutliga priset och med hur många procent har det ändrats totalt?

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande tal i procent.


a

0.370.37

b

250\dfrac{2}{50}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många procent är 5 ml av en liter?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som promille.

a

5.8%5.8\, \%

b

0.000460.00046

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange förändringsfaktorn då


a

ett värde minskar med 6.5%6.5\,\%.

b

ett värde ökar med 180%180\,\%.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett par jeans på rea kostar 500 kr. Innan rean kostade de 800 kr.


a

Beräkna förändringsfaktorn.

b

Ange den procentuella förändringen.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En soffa kostar 35003500 kr.


a

Vad kostar soffan om priset höjs med 20 %?

b

Vad kostar soffan om priset sänks med 5 %?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som procent.


a

3.5 ppm

b

645 ppm

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en klädbutik är priset på en tröja 350350 kr. Vad kommer tröjan att kosta om


a

priset sänks med 20 %?

b

priset höjs med 10 %?

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Efter en prissänkning med 1212 % kostar en bil 1938219 382 kr. Vad kostade bilen innan prisändringen?

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En målning såldes för 3200 kr för ett antal år sedan och ska nu auktioneras vidare.


a

Ett bud lades som var 125 % av det tidigare försäljningspriset. Vad låg budet på?

b

En annan budgivare lade ett ännu högre bud på 8500 kr. Hur stor var vinsten för säljaren? Svara i procent.

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I valet till Sveriges riksdag år 20102010 fick Socialdemokraterna 30.7%30.7\,\% av rösterna och Moderaterna 30.1%30.1\,\% av rösterna. I efterkommande riksdagsval, år 2014,2014, fick Socialdemokraterna 31.0%31.0\,\% och Moderaterna 23.3%.23.3\,\%.

a

Med hur många procentenheter ökade Socialdemokraterna i riksdagsvalet 20142014 jämfört med 2010?2010?

b

Med hur många procentenheter minskade Moderaterna i riksdagsvalet 20142014 jämfört med 2010?2010?

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En undersökning visar att 30%30\,\% av befolkningen i en stad källsorterar år 2007,2007, vilket motsvarar 90009000 personer. I en likadan undersökning år 20152015 hade andelen ökat med 1010 procentenheter. Hur många personer källsorterade 2015?2015? Befolkningsantalet i staden var lika under 20072007 och 2015.2015.

1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Räntan på ett sparkonto höjdes en månad från 3.45%3.45\,\% till 3.65%.3.65\,\%. Bestäm höjningen i

a

procentenheter.

b

procent.

Nationella provet VT12 1b
1.14
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en promille av 9.49.4 miljoner.

Nationella provet VT12 1a
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

År 19101910 var världens befolkning 1.751.75 miljarder. 100100 år senare var den 6.86.8 miljarder. Med hur många procent har jordens befolkning ökat?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kommuns befolkning minskade under fem år totalt med 20 % och ökade sedan med 20 % under de kommande fem åren till 1600 personer. Bestäm hur många personer som bodde i kommunen för tio år sedan, dvs. innan de båda förändringarna.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vid en meteorologisk mätstation mäter man bl.a. antal timmar med solsken. En tisdag uppmättes 6.3 soltimmar, vilket var 30 % mindre än antalet soltimmar dagen innan. Beräkna antalet soltimmar som uppmättes på måndagen.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tornet består av fyra likadana klossar.

Excercise179 3.svg


a

Med hur många procent förändras tornets höjd om man tar bort den översta klossen?

b

Med hur många procent förändras tornets höjd om man skulle sätta tillbaka klossen?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En aktie ökar i värde med 2323 % per år. När kan vi förvänta oss att den har fördubblat sitt värde? Lös uppgiften genom att pröva dig fram systematiskt.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På en grundskola finns bl.a. klass 99A, som har 3232 elever. En undersökning visar att 12.5%12.5\,\% av eleverna i 99A var säkra på sitt gymnasieval 33 veckor innan valet skulle göras. Samma undersökning gjordes 22 veckor senare och då hade andelen säkra elever ökat med 7575 procentenheter. Hur många procent fler var säkra på sitt beslut 11 vecka innan det skulle tas jämfört med 33 veckor innan?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tre vänner spelar på trav. De bestämde de sig för att lägga ihop sina insatser (se tabell) och satsa på samma häst.

Lars Ove Martin
120120 kr 225225 kr 8282 kr

De har tur och vann 5000050\,000 kr. Ungefär hur bör vinsten fördelas?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett kvadratiskt områdes area ökar med 3030 %. Hur många procent längre blir sidorna om det nya området också är kvadratiskt?

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du arbetar 160160 timmar per månad och tjänar 2496024 960 kr i månadslön. En dag säger din chef att du har för hög lön, och att du dessutom måste jobba fler timmar per månad. Förutom att din arbetstid ökar med 1010 % per månad, sänks din månadslön med 2020 %. Med hur många procent minskar din timlön om din chef får igenom dessa förändringar?

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ge exempel på tre olika positiva heltal aa, bb och cc så att 20%20 \, \% av aa adderat med 10%10\, \% av bb minus 30%30 \, \% av cc blir 97.97.

2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Priset på en antik byrå höjs med 900900 kr. Tyvärr säljs inte byrån till det högre priset och 22 månader senare sänks det på en rea med 6060 %. Vad kostade byrån innan prishöjningen om reapriset är 3030 % mindre än det ursprungliga priset?

2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

År 20142014 var elpriset 2727 öre per kWh. Det var 40%40\, \% lägre än året innan. Hur mycket kostade 11 kWh år 2013?2013? 1kWh=1 kilowattimme \fbox{1 \text{kWh}= 1 \text{ kilowattimme}}

Nationella provet HT16 1c
2.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En jacka kostar 980980 kr. Priset höjs först med 8%8\, \% och sedan med ytterligare 6%6\, \%. Vilken av beräkningarna ger dig jackans pris efter båda prisökningarna? Ringa in ditt svar.

9800.080.069801.81.69800.080.069801.081.06980+9800.08+9800.06\begin{aligned} & 980 \cdot 0.08 \cdot 0.06 \qquad 980 \cdot 1.8 \cdot 1.6 \qquad \dfrac{980}{0.08\cdot 0.06}\\[2em] &980\cdot 1.08 \cdot 1.06 \qquad 980+980\cdot 0.08 +980\cdot 0.06\\ \end{aligned}

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Eftersom du har blivit allergisk säljer du dina två katter på Blocket. Den ena är en billigare bondkatt och den andra en raskatt, men köparen insisterar på att betala 420 kr styck för båda. Bondkatten såldes med vinst och raskatten såldes med förlust.

  • Bondkatten: vinst med 4040 % på inköpspriset.
  • Raskatten: förlust med 4040 % på inköpspriset.

Hur stor blev den totala vinsten eller förlusten räknat i kronor när vi jämför katternas försäljningspriser med inköpspriserna?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Under rean på en möbelaffär sänktes priset på ett vitrinskåp med 30 %. När rean var över ville ägaren inte chockhöja priset och bestämde sig för att öka det med 10 % varje månad under tre månaders tid så att priset blev samma som innan rean.


a

Visa att priset efter 3 månader inte är samma som det ursprungliga priset.

b

Hur mycket måste ägaren höja/sänka priset en fjärde gång för att det ska bli lika stort som det ursprungliga priset?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En räddningshelikopter ska hämta nödsatta människor i 55 livbåtar ute till havs. Helikoptern har bara plats för passagerarna i en av båtarna åt gången och måste därför göra 5 turer. När helikoptern hämtar passagerarna i den första båten är avståndet till land 55 mil.

Uppgift471 1.svg

När helikoptern släppt av människorna i den första båten och flugit tillbaka till båtarna som är kvar på havet, har dessa hunnit ro 10%10 \, \% av avståndet till land. För varje tur helikoptern gör hinner de resterande båtarna ro 10%10 \, \% närmare land av det kvarvarande avståndet. Hur många mil måste helikoptern flyga totalt innan alla är räddade? Avrunda till hela mil.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En bil minskar i värde med 2525 % per år. Din kompis menar att efter fyra år är bilens värde 00 kr eftersom 100%425%=0%. 100 \, \% - 4\cdot 25 \, \%=0 \, \%.

a

Förklara varför din kompis har fel.

b

Hur mycket har bilens värde minskat egentligen, om minskningen är 2525 % per år i fyra år?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Shartin McRelly, en omoralisk VD för ett läkemedelsföretag, höjer priset på en medicin mot toxoplasmos (en infektionssjukdom som slår extra hårt mot bl.a. cancersjuka) på julafton. Först höjer han priset med 405.1%.405.1 \, \%. Han känner dock inte att han tjänar tillräckligt med pengar på de cancersjuka och gör ytterligare en höjning fem månader senare med 1000%1000 \, \% på det nya priset.


a

Hur stor blir den totala prishöjningen i procent?

b

Innan prishöjningarna kostade en dos av medicinen 13.5013.50 dollar. Med hur många dollar stiger månadskostnaden för en patient som behöver 33 doser om dagen under ett år?

c

Läkemedelsbolaget tillsätter en ny VD som lovar förändring. Hur många procent måste priset efter den andra prishöjningen sänkas om läkemedelsbolaget vill ta ett pris som är 120%120 \, \% av det ursprungliga priset?

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En aktie har från början värdet 200200 kronor. Första veckan ökar värdet med 10%10\, \% och andra veckan minskar värdet med 10%.10\, \%. Aktiens värde fortsätter att förändras enligt samma mönster.

a

Hur mycket är aktien värd efter två veckor?

b

Hur mycket är aktien värd efter 100100 veckor?

Nationella provet HT16 1b
3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Frida tar ett sms-lån på 10001 000 kr. Lånet ska betalas tillbaka efter en månad och den procentuella månadsräntan är 20%.20 \, \%. När månaden är slut har Frida inte råd att betala sin skuld.


För att betala skulden tar hon ett nytt sms-lån på hela det belopp hon är skyldig. Det nya lånet har samma procentuella månadsränta.


Frida fortsätter att låna på samma sätt varje månad. Hur stor är Fridas skuld ett år efter att hon har tagit sitt första sms-lån?

Nationella provet HT16 1a/1b/1c
3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kim och Alex jämför resultatet i skolvalet. Kim påstår att en ökning från 16%16 \,\% till 19%19 \,\% är större än en ökning från 32%32\, \% till 36%.36\, \%. Alex säger att det är tvärtom. Kan båda ha rätt? Motivera.

Nationella provet HT16 1a/1b
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den erfarna aktiehandlaren Gordon har två portföljer där han blandat tre olika aktietyper.

Portfölj Aktie A Aktie B Aktie C
11 15%15 \, \% 85%85 \, \% 0%0\,\%
22 40.5%40.5 \, \% 49.5%49.5 \, \% 10%10\,\%


a

Gordon kompletterar portfölj 1 så att den innehåller 40%40 \, \% av Aktie C. Hur stor andel av portföljen utgör då aktie A respektive B?

b

Efter att Gordon kompletterat portföljen bestämmer han sig för att föra över aktier från portfölj 22 till portfölj 1.1. Anta att han för över aktier enligt aktieslagens proportioner i portfölj 22 och andelen av aktie C minskar till 35%35\,\%. Hur många procent större blir portföljen?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}