Primtal

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Primtal

Ett primtal är ett heltal som är större än 11 och som bara är delbart med 11 och sig självt.

22 kan delas med 11 och 22 primtal
33 kan delas med 11 och 33 primtal
44 kan delas med 1,21,{\color{#0000FF}{2}} och 44 ej primtal
55 kan delas med 11 och 55 primtal
66 kan delas med 1,2,31, {\color{#0000FF}{2}}, {\color{#0000FF}{3}} och 66 ej primtal

Primtal är därför i någon mening odelbara. Samtidigt kan de kombineras för att bilda alla andra tal (sammansatta tal), så man kan tänka på primtal lite som talsystemets atomer. Man kan också tänka så här: Alla tal som inte är primtal kan formas till en kvadrat eller rektangel (utan att lägga dem på en enda lång rad).

Primtal.svg
Begrepp

Primtalsfaktorisering

Heltal som inte är primtal kallas för sammansatta tal. De heter så därför att de kan delas upp till en produkt av mindre heltal: 12=34. 12 = 3 \cdot 4. Om man fortsätter uppdelningen så långt det går, dvs. till produkten enbart består av primtal, har man gjort en primtalsfaktorisering. I det här fallet är 4:an också ett sammansatt tal eftersom det är lika med 222\cdot 2. Primtalsfaktoriseringen av 12 är därför 12=322. 12=3 \cdot 2\cdot 2.

Det här avslöjar något om heltalen, nämligen att de har en slags legostruktur: Alla tal är antingen legobitar (primtal) eller uppbyggda av legobitar (sammansatta tal). Alla sammansatta tal går att primtalsfaktorisera, och det kan göras på ett enda sätt. Det här sambandet knyter ihop alla heltal på ett grundläggande sätt, och därför brukar detta kallas för aritmetikens fundamentalsats.
Begrepp

Faktorträd

Faktorträd är en metod för att primtalsfaktorisera tal. Man börjar med att dela upp talet i två faktorer och fortsätter sedan på samma sätt tills man når ett primtal. Trädet visar ett exempel på hur talet 120 kan primtalsfaktoriseras.

Faktortrad ny.svg

När trädets samtliga grenar mynnat ut i primtal (gröna rutor) är man klar, och talets primtalsfaktorisering är produkten av dessa primtal, dvs. 25322. 2\cdot 5\cdot 3\cdot 2 \cdot 2.

Det spelar ingen roll i vilken ordning faktoriseringen görs. Man hade lika gärna kunnat börja med faktoriseringen 120=206,120=20 \cdot 6, och ändå få samma primtalsfaktorisering.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Rita av faktorträdet och skriv in talen som saknas.

Faktortrad21.svg
b

Skriv 36 som en produkt av primtalsfaktorer.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Primtalsfaktorisera följande tal.

a

128128

b

9090

c

405405

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har brutit ned talet 4848 till faktorerna 2234.2\cdot 2\cdot 3\cdot 4. Har du lyckats primtalsfaktorisera talet?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Finns det några jämna primtal?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa två olika faktorträd som visar hur du kan primtalsfaktorisera talet 99.99.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara med ett eget exempel skillnaden mellan ett primtal och ett sammansatt tal.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange talens unika primtalsfaktorer.

a

6464

b

100100

c

2323

d

210210

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Komplettera följande faktorträd.

Exercise896 1.svg
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

55 är ett primtal. Varför är inte -5\text{-}5 ett primtal?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Primtalsfaktorisera följande tal.

a

36236^2

b

326432\cdot64

c

1253125^3

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man säger att två tal är relativt prima om det inte finns något positivt heltal, förutom 1,1, som delar båda talen jämnt. Till exempel är 99 och 66 inte relativt prima eftersom båda är delbara med 3.3. Däremot är 44 och 1515 relativt prima eftersom 4=22och15=53. 4=2\cdot2 \quad \text{och} \quad 15=5\cdot 3. Det finns alltså inget heltal som delar både 44 och 15.15.

a

Är 2121 och 1515 relativt prima?

b

Är 3232 och 2727 relativt prima?

c

Är 1313 och 1919 relativt prima?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du multiplicerar primtalen pp och q.q.


a

Motivera varför produkten inte är ett primtal.

b

Hur ser primtalsfaktoriseringen för produkten ut?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Din kompis hävdar att 283283 är ett primtal. För att visa detta har han provat att dela talet med de första sex primtalen 2,3,5,7,11 och 13 2,\, 3,\, 5, \, 7, \, 11 \text{ och } 13 utan att det gick jämnt ut och sedan utfört multiplikationen 171717 \cdot 17. Hur har din kompis resonerat?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka par av skilda primtal är summan alltid jämn?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att 235711+12\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \cdot 11+1 är ett primtal.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När man undersöker om ett tal aa är ett primtal kan man testa det genom att dividera det med alla primtal mindre eller lika med a\sqrt{a} och se om kvoten blir ett heltal. Förklara varför det räcker med att testa dessa tal.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I nedanstånde ekvation är pp och qq skilda primtal: 3p=(q+6)(q10). 3p=(q+6)(q-10). Bestäm primtalen.

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Eulers ϕ\phi-funktion, ϕ(n)\phi(n), anger hur många positiva heltal mindre än nn som är relativtprimarelativt prima med n.n. Om två tal är relativt prima betyder det att de inte har några gemensamma positiva heltalsfaktorer. Till exempel är ϕ(4)=2\phi(4)=2 eftersom det finns 22 positiva heltal mindre än 44 som är relativt prima med 44 (11 och 33). 22 och 44 är inte relativt prima eftersom de har 22 som gemensam faktor. Bestäm

a

ϕ(12)\phi(12)


b

ϕ(17)\phi(17)


c

ϕ(p)\phi(p), om pp är ett primtal.

4.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I bråket a+ba\frac{a+b}{a} är aa och bb primtal. Vad krävs för att kvoten ska bli ett heltal?

4.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka unika primtalsfaktorer kan du hitta i summan 334+331? 3^{34}+3^{31}?

4.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många primtalsfaktorer består följande summa av? 440+441+442 4^{40}+ 4^{41} + 4^{42}

4.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Summan av fyra primtal, som vi kallar a,b,c  och  d, a, \, b, \, c \ \text{ och } \ d, är 82. Bestäm primtalen om du vet att bb är 4 mindre än cc samt att bb är 54 mindre än d.d.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}