Aritmetik

Primtal

Teori

Primtal

Ett primtal är ett heltal som är större än 11 och som bara är delbart med 11 och sig självt.

22 kan delas med 11 och 22 primtal
33 kan delas med 11 och 33 primtal
44 kan delas med 1,21,{\color{#0000FF}{2}} och 44 ej primtal
55 kan delas med 11 och 55 primtal
66 kan delas med 1,2,31, {\color{#0000FF}{2}}, {\color{#0000FF}{3}} och 66 ej primtal

Primtal är därför i någon mening odelbara. Samtidigt kan de kombineras för att bilda alla andra tal (sammansatta tal), så man kan tänka på primtal lite som talsystemets atomer. Man kan också tänka så här: Alla tal som inte är primtal kan formas till en kvadrat eller rektangel (utan att lägga dem på en enda lång rad).

Primtal.svg

Primtalsfaktorisering

Heltal som inte är primtal kallas för sammansatta tal. De heter så därför att de kan delas upp till en produkt av mindre heltal: 12=34. 12 = 3 \cdot 4. Om man fortsätter uppdelningen så långt det går, dvs. till produkten enbart består av primtal, har man gjort en primtalsfaktorisering. I det här fallet är 4:an också ett sammansatt tal eftersom det är lika med 222\cdot 2. Primtalsfaktoriseringen av 12 är därför 12=322. 12=3 \cdot 2\cdot 2.

Det här avslöjar något om heltalen, nämligen att de har en slags legostruktur: Alla tal är antingen legobitar (primtal) eller uppbyggda av legobitar (sammansatta tal). Alla sammansatta tal går att primtalsfaktorisera, och det kan göras på ett enda sätt. Det här sambandet knyter ihop alla heltal på ett grundläggande sätt, och därför brukar detta kallas för aritmetikens fundamentalsats.

Faktorträd

Faktorträd är en metod för att primtalsfaktorisera tal. Man börjar med att dela upp talet i två faktorer och fortsätter sedan på samma sätt tills man når ett primtal. Trädet visar ett exempel på hur talet 120 kan primtalsfaktoriseras.

Faktortrad ny.svg

När trädets samtliga grenar mynnat ut i primtal (gröna rutor) är man klar, och talets primtalsfaktorisering är produkten av dessa primtal, dvs. 25322 2\cdot 5\cdot 3\cdot 2 \cdot 2

Det spelar ingen roll i vilken ordning faktoriseringen görs. Man hade lika gärna kunnat börja med faktoriseringen 120=206,120=20 \cdot 6, och ändå få samma primtalsfaktorisering