Integraler

Primitiva funktioner med villkor

Teori

Vad innebär villkor för primitiva funktioner?

När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion f,f, t.ex. f(x)=2x4,f(x)=2x-4, menar man alla funktioner med derivatan f.f. En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant C,C, t.ex. F(x)=x24x+C. F(x)=x^2-4x+C. Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på C.C. Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.

Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på C,C, men då måste man veta något mer om F(x).F(x). Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan F(x)F(x) gå igenom (0,1)(0,1) och villkoret skrivs då F(0)=1. F(0)=1.

Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till f(x),f(x), i det här fallet F(x)=x24x+1.F(x)=x^2-4x+1. Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett F(x)F(x) ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.

Bestämma primitiv funktion med villkor

När man bestämmer alla primitiva funktioner F(x)F(x) till en funktion f(x)f(x) lägger man till en okänd konstant C.C. Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller f(x)=18x25omF(2)=10. f(x)=18x^2-5 \quad \text{om} \quad F(2) = 10.

Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=18x25f(x)=18x^2-5
F(x)=D-1(18x2)D-1(5)+CF(x)=D^{\text{-}1}\left(18x^2\right)-D^{\text{-}1}\left(5\right)+C
F(x)=18x33D-1(5)+CF(x)=\dfrac{18x^3}{3}-D^{\text{-}1}\left(5\right)+C
F(x)=18x335x+CF(x)=\dfrac{18x^3}{3}-5x+C
F(x)=6x35x+CF(x)=6x^3-5x+C

Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att F(2)=10,F(2)=10, dvs. att funktionsvärdet är lika med 1010 när x=2.x=2.

F(x)=6x35x+CF(x)=6x^3-5x+C
x=2x={\color{#0000FF}{2}}
F(2)=62352+CF({\color{#0000FF}{2}})=6\cdot{\color{#0000FF}{2}}^3-5\cdot{\color{#0000FF}{2}}+C
F(2)=10F(2)={\color{#0000FF}{10}}
10=62352+C{\color{#0000FF}{10}}=6\cdot2^3-5\cdot2+C
10=6852+C10=6\cdot8-5\cdot2+C
10=4810+C10=48-10+C
10=38+C10=38+C
-28=C\text{-}28=C
C=-28C=\text{-}28

Slutligen ersätter man CC med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen F(x)=6x35x28. F(x)=6x^3-5x-28.

Exempel

Bestäm primitiv funktion med villkor