{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

pq-formeln

pqpq-formeln är ett sätt att lösa andragradsekvationer av typen x2+px+q=0,x^2+px+q=0, alltså en ekvation med en x2x^2-, xx- och konstantterm. Koefficienten framför x2x^2 ska vara 11 och högerledet ska vara 0.0. Ett exempel är x2+6x5=0, x^2 + 6x - 5 = 0, vilket man kan kalla för pqpq-form. För att lösa ekvationen, dvs. för att få xx ensamt, används pqpq-formeln där konstanterna pp och qq sätts in.

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

pp är koefficienten framför xx och qq är konstanttermen. I ekvationen x2+6x5=0x^2 + 6x - 5 = 0 är koefficienten p=6p=6 och konstanten q=-5.q= \text{-}5. Genom insättning och förenkling får man ut maximalt två rötter: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på pqpq-form måste den först skrivas om så att den blir det, alternativt använda abcabc-formeln.

Härledning

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

För att härleda pqpq-formeln utgår man från pqpq-form, x2+px+q=0,x^2 + px + q = 0, och kvadratkompletterar för att lösa ut x.x. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen x2+px=c.x^2+px=c.

x2+px+q=0x^2+px+q=0
x2+px=-qx^2+px=\text{-} q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför xx i kvadrat", (p2)2\left(\frac{p}{2}\right)^2.

x2+px+(p2)2=-q+(p2)2x^2+px+\left(\dfrac{{\color{#0000FF}{p}}}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{{\color{#0000FF}{p}}}{2}\right)^2
x2+px+(p2)2=(p2)2qx^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen pxpx som 2p2x.2\cdot \frac{p}{2}\cdot x. Därefter drar man roten ur båda led och löser ut x.x.

x2+2p2x+(p2)2=(p2)2qx^2+2\cdot \dfrac{p}{2}\cdot x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x+p2)2=(p2)2q\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
x+p2=±(p2)2qx+\dfrac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
x=-p2±(p2)2qx=\text{-}\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
Visa mer