{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Algebra och icke-linjära ekvationer

Pq-formeln

Teori

pq-formeln

pqpq-formeln är ett sätt att lösa andragradsekvationer av typen x2+px+q=0,x^2+px+q=0, alltså en ekvation med en x2x^2-, xx- och konstantterm. Koefficienten framför x2x^2 ska vara 11 och högerledet ska vara 0.0. Ett exempel är x2+6x5=0, x^2 + 6x - 5 = 0, vilket man kan kalla för pqpq-form. För att lösa ekvationen, dvs. för att få xx ensamt, används pqpq-formeln där konstanterna pp och qq sätts in.

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

pp är koefficienten framför xx och qq är konstanttermen. I ekvationen x2+6x5=0x^2 + 6x - 5 = 0 är koefficienten p=6p=6 och konstanten q=-5.q= \text{-}5. Genom insättning och förenkling får man ut maximalt två rötter: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på pqpq-form måste den först skrivas om så att den blir det, alternativt använda abcabc-formeln.

Härledning

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

För att härleda pqpq-formeln utgår man från pqpq-form, x2+px+q=0,x^2 + px + q = 0, och kvadratkompletterar för att lösa ut x.x. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen x2+px=c.x^2+px=c.

x2+px+q=0x^2+px+q=0
x2+px=-qx^2+px=\text{-} q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför xx i kvadrat", (p2)2\left(\frac{p}{2}\right)^2.

x2+px+(p2)2=-q+(p2)2x^2+px+\left(\dfrac{{\color{#0000FF}{p}}}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{{\color{#0000FF}{p}}}{2}\right)^2
x2+px+(p2)2=(p2)2qx^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen pxpx som 2p2x.2\cdot \frac{p}{2}\cdot x. Därefter drar man roten ur båda led och löser ut x.x.

x2+2p2x+(p2)2=(p2)2qx^2+2\cdot \dfrac{p}{2}\cdot x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x+p2)2=(p2)2q\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
x+p2=±(p2)2qx+\dfrac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
x=-p2±(p2)2qx=\text{-}\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
Visa mer

Exempel

Lös andragradsekvationen med pqpq-formeln

Lös andragradsekvationen med pqpq-formeln. x2+8x20=0 x^2+8x-20=0

Koefficienten framför x2x^2 är 1,1, så vi kan använda pqpq-formeln direkt. pp är 8 och qq är -20.\text{-} 20.

x2+8x20=0x^2+8x-20=0
x=-82±(82)2(-20)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}
x=-4±42(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}
x=-4±16(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}
a(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
x=-4±36x=\text{-}4\pm\sqrt{36}
x=-4±6x=\text{-}4\pm6
x1=-10x2=2\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationens lösningar är x=-10x=\text{-}10 och x=2.x=2.

Visa mer

abc-formeln

I Sverige använder man oftast pqpq-formeln när man löser andragradsekvationer av typen x2+px+q=0x^2+px+q=0. I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade abcabc-formeln. Den används för andragradsekvationer på formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0.

x=-b2a±b24ac2ax=\text{-}\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Villkor: a0a\neq0

Den har färre begränsningar än pqpq-formeln eftersom koefficienten framför x2x^2 inte måste vara 1.1. Däremot kan abcabc-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar.

Uppgifter