Algebra och icke-linjära ekvationer

Pq-formeln

Teori

pqpq-formeln

pqpq-formeln är ett sätt att lösa andragradsekvationer av typen x2+px+q=0,x^2+px+q=0, alltså en ekvation med en x2x^2-, xx- och konstantterm. Koefficienten framför x2x^2 ska vara 11 och högerledet ska vara 0.0. Ett exempel är x2+6x5=0, x^2 + 6x - 5 = 0, vilket man kan kalla för pqpq-form. För att lösa ekvationen, dvs. för att få xx ensamt, används pqpq-formeln där konstanterna pp och qq sätts in.

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

pp är koefficienten framför xx och qq är konstanttermen. I ekvationen x2+6x5=0x^2 + 6x - 5 = 0 är koefficienten p=6p=6 och konstanten q=-5.q= \text{-}5. Genom insättning och förenkling får man ut maximalt två rötter: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på pqpq-form måste den först skrivas om så att den blir det, alternativt använda abcabc-formeln.

Härledning

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

Exempel

Lös andragradsekvationen med pqpq-formeln

abcabc-formeln

I Sverige använder man oftast pqpq-formeln när man löser andragradsekvationer av typen x2+px+q=0x^2+px+q=0. I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade abcabc-formeln. Den används för andragradsekvationer på formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0.

x=-b2a±b24ac2ax=\text{-}\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Villkor: a0a\neq0

Den har färre begränsningar än pqpq-formeln eftersom koefficienten framför x2x^2 inte måste vara 1.1. Däremot kan abcabc-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar.