{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Algebra

Potensekvationer

Teori

Potensekvation

En ekvation därena ledet är en potens där variabeln finns i basen av en potens och en konstant i andra, t.ex. x4=9x^4 = 9, kallas för en potensekvation. Exponenten på variabeln anger ekvationens grad, vilket innebär att x4=9x^4 = 9 är en fjärdegradsekvation.

Potensekvation 35475.svg
En potensekvations grad avgör antalet lösningar den maximalt kan ha, t.ex. kan en fjärdegradsekvation som mest ha fyra lösningar, men den kan även ha färre eller inga lösningar alls.

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller x2x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x2500=0, 5x^2-500=0, går den att lösa med en form av balansmetoden.

Börja med att lösa ut x2x^2 så att det står ensamt.
5x2500=05x^2-500=0
5x2=5005x^2=500
x2=100x^2=100
När x2x^2 står ensamt i ena ledet drar man kvadratroten ur båda led. Eventuellt behöver man använda räknare till detta. Man får en positiv och en negativ lösning.
x2=100x^2=100
x=±100x = \pm \sqrt{100}
x=±10x = \pm 10

Ekvationen har lösningarna x=10x=10 och x=-10.x= \text{-} 10.

Om x2x^2 är lika med ett negativt tal, t.ex. x2=-7,x^2=\text{-}7, har ekvationen icke-reella rötter.

Exempel

Lös en enkel andragradsekvation

Lös andragradsekvationen 3x2=123x^2=12.

För att lösa ut xx måste vi först dividera bort 3:an så att x2x^2 står ensamt i vänsterledet.

3x2=123x^2=12
x2=4x^2=4

Eftersom x2x^2 är kvadrerad drar vi kvadratroten ur båda led för att lösa ut xx.

x2=4x^2=4
x2=4\sqrt{x^2}=\sqrt{4}
x±2x\pm 2

Både x=-2x=\text{-} 2 och x=2x=2 löser alltså ekvationen. Vi får även en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv: (-2)(-2)=4(\text{-} 2)\cdot (\text{-} 2)=4. Utöver den positiva lösningen måste vi alltså lägga till en negativ. Detta är något man alltid måste tänka på när man löser potensekvationer med ett jämnt gradtal.

Visa mer

Lösa potensekvationer

Hur man löser en enkel potensekvation, dvs. en ekvation på formen xn=ax^n=a där aa är en konstant, beror på dess grad. Andragradsekvationer löser man genom att dra kvadratroten ur båda led. Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt. T.ex. drar man tredje roten ur båda led i en tredjegradsekvation eftersom "tredje roten ur" och "upphöjt till 33" tar ut varandra: x33=x. \sqrt[3]{x^3}=x. För ännu högre gradtal gör man på samma sätt – man drar den rot som motsvarar gradtalet.

Antal lösningar beror på om ekvationens grad är jämn eller udda.

Villkor

Udda exponent ger alltid en lösning

När man löser ekvationer på formen xn=ax^n=a och nn är udda har ekvationen alltid en lösning. Exempelvis har ekvationen x3=27x^3=27 lösningen x=3,\begin{aligned} x= 3, \end{aligned} eftersom 333^3 är 27.27. Om potensen är lika med ett negativt tal, t.ex. y3=-27,y^3 = \text{-} 27, har även denna ekvation en lösning: y=-3,\begin{aligned} y= \text{-} 3, \end{aligned} eftersom (-3)3(\text{-}3)^3 är lika med -27\text{-}27. Till skillnad från jämna exponenter kan man alltså dra en udda rot ur negativa tal.

Visa mer

Villkor

Jämn exponent ger som mest två lösningar

När man löser ekvationer på formen xn=ax^n=a och nn är jämnt, finns det två villkor som är viktiga att ta hänsyn till.

  • En enkel potensekvation med jämn exponent har oftast två lösningar. Exempelvis har ekvationen x2=4x^2 = 4 de två lösningarna

x=2 och x=-2\begin{aligned} x=2 \text{ och } x= \text{-} 2 \end{aligned} eftersom både 222^2 och (-2)2(\text{-}2)^2 är lika med 4.4. Men om man slår in en jämn rot på räknaren kommer den bara att svara med ett positivt tal, eftersom en jämn rot ur ett tal per definition är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv.

  • Man kan inte dra en jämn rot ur ett negativt tal, så ekvationer som x2=-4x^2 = \text{-} 4 ger inga reella lösningar.
Visa mer
Det brukar finnas inbyggda funktioner på räknaren för att dra tredje, fjärde osv. roten ur ett tal. an\sqrt[n]{a} kan också skrivas som a1/na^{1/n}.

Exempel

Lös potensekvationen

Lös potensekvationen x31=7.x^3 - 1 = 7.

För att lösa ut xx måste vi först addera 1 i båda led så att x3x^3 står ensamt i vänsterledet.

x31=7x^3 - 1=7
x3=8x^3=8

Eftersom x3x^3 är upphöjd till 33 drar vi tredje roten ur båda led för att lösa ut xx. Eventuellt kan man behöva använda räknare till detta.

x3=8x^3=8
x33=83\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{8}
x=2x=2

x=2x=2 löser ekvationen. Notera att vi endast får en positiv lösning. Hade exponenten varit jämn skulle vi behöva lägga till en negativ lösning eftersom produkten av ett jämnt antal faktorer är positiv, oavsett om faktorn är positiv eller negativ.

Visa mer

Från rotuttryck till potensform

Rotuttryck är i själva verket ett annat sätt att skriva potenser som har exponenten 1n.\frac{1}{n}.

Fran rotuttryck till potensform 1.svg

Exempelvis kan a\sqrt{a} skrivas som a12a^{\frac{1}{2}} och a3\sqrt[3]{a} som a13.a^{\frac{1}{3}}.

Lösa potensekvationer

När man löser potensekvationer kan man, om man vill, upphöja båda led med inversen av gradtalet. Enligt potenslagarna får man då (x3)13=x33=x1=x. \left(x^3\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{3}{3}}=x^1=x. Därför kan man använda detta istället för rotuttryck för att lösa potensekvationer.

Från potensekvation till lösning med rotuttryck
Villkoren för udda och jämna exponenter är samma som när man löser potensekvationer genom att använda rotuttryck. När man skriver in denna typ av uttryck på räknaren måste man komma ihåg att sätta parenteser runt bråket i exponenten.

Exempel

Lös en potensekvation med potenser

Lös potensekvationen 9x5=63.9x^5 = 63. Svara exakt och med två decimaler.

För att lösa ut xx måste vi först dividera med 99 i båda led så att x5x^5 står ensamt i vänsterledet.

9x5=639x^5 = 63
x5=7x^5=7

Eftersom exponenten på xx är 55 upphöjer vi båda led till 15\frac{1}{5} för att lösa ut x.x.

x5=7x^5=7
(x5)1/5=71/5\left(x^5\right)^{1/5}=7^{1/5}
x5/5=71/5x^{5/5}= 7^{1/5}
aa=1\dfrac{a}{a}=1
x=71/5x= 7^{1/5}

Det exakta svaret är x=71/5.x= 7^{1/5}. Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Lösningen är alltså x1.48.x \approx 1.48.

Visa mer

Uppgifter