Algebra

Potensekvationer

Teori

Potensekvation

En ekvation därena ledet är en potens där variabeln finns i basen av en potens och en konstant i andra, t.ex. x4=9,x^4 = 9, kallas för en potensekvation. Exponenten på variabeln anger ekvationens grad, vilket innebär att x4=9x^4 = 9 är en fjärdegradsekvation.

Potensekvation 35475.svg
En potensekvations grad avgör antalet lösningar den maximalt kan ha, t.ex. kan en fjärdegradsekvation som mest ha fyra lösningar, men den kan även ha färre eller inga lösningar alls.

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller x2x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x2500=0, 5x^2-500=0, går den att lösa med en form av balansmetoden.

Börja med att lösa ut x2x^2 så att det står ensamt.
5x2500=05x^2-500=0
5x2=5005x^2=500
x2=100x^2=100
När x2x^2 står ensamt i ena ledet drar man kvadratroten ur båda led. Eventuellt behöver man använda räknare till detta. Man får en positiv och en negativ lösning.
x2=100x^2=100
x=±100x = \pm \sqrt{100}
x=±10x = \pm 10

Ekvationen har lösningarna x=10x=10 och x=-10.x= \text{-} 10.

Om x2x^2 är lika med ett negativt tal, t.ex. x2=-7,x^2=\text{-}7, har ekvationen icke-reella rötter.

Exempel

Lös en enkel andragradsekvation

Lösa potensekvationer

Hur man löser en enkel potensekvation, dvs. en ekvation på formen xn=ax^n=a där aa är en konstant, beror på dess grad. Andragradsekvationer löser man genom att dra kvadratroten ur båda led. Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt. T.ex. drar man tredje roten ur båda led i en tredjegradsekvation eftersom "tredje roten ur" och "upphöjt till 33" tar ut varandra: x33=x. \sqrt[3]{x^3}=x. För ännu högre gradtal gör man på samma sätt – man drar den rot som motsvarar gradtalet.

Antal lösningar beror på om ekvationens grad är jämn eller udda.

Villkor

Udda exponent ger alltid en lösning

Villkor

Jämn exponent ger som mest två lösningar
Det brukar finnas inbyggda funktioner på räknaren för att dra tredje, fjärde osv. roten ur ett tal. an\sqrt[n]{a} kan också skrivas som a1/na^{1/n}.

Exempel

Lös potensekvationen

Från rotuttryck till potensform

Rotuttryck är i själva verket ett annat sätt att skriva potenser som har exponenten 1n.\frac{1}{n}.

Fran rotuttryck till potensform 1.svg

Exempelvis kan a\sqrt{a} skrivas som a12a^{\frac{1}{2}} och a3\sqrt[3]{a} som a13.a^{\frac{1}{3}}.

Lösa potensekvationer

När man löser potensekvationer kan man, om man vill, upphöja båda led med inversen av gradtalet. Enligt potenslagarna får man då (x3)13=x33=x1=x. \left(x^3\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{3}{3}}=x^1=x. Därför kan man använda detta istället för rotuttryck för att lösa potensekvationer.

Från potensekvation till lösning med rotuttryck
Villkoren för udda och jämna exponenter är samma som när man löser potensekvationer genom att använda rotuttryck. När man skriver in denna typ av uttryck på räknaren måste man komma ihåg att sätta parenteser runt bråket i exponenten.

Exempel

Lös en potensekvation med potenser