Potens- och exponentialfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En funktion med en enda term i form av en potens kan vara antingen en potensfunktion eller exponentialfunktion. Man avgör vilken typ av funktion det är genom att se var i potensen variabeln finns.

  • Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
  • Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

I båda fall kan potenserna ha en koefficient, C.C.

Potensfunktion
y=Cxay=C\cdot x^a

Exponentialfunktion
y=Caxy=C\cdot a^x

I en exponentialfunktion finns det vissa villkor som konstanterna CC och aa måste uppfylla.

Villkor

C0C \neq 0

Villkor

a>0a \gt 0 och a1a \neq 1
Uppgift

Bestäm vilka av följande funktioner som är potens- respektive exponentialfunktioner.

  • y=15xy=15^x
  • y=x2y=x^2
  • y=xy=\sqrt{x}
  • y=1x3y=\dfrac{1}{x^3}
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten CC som startvärdet och basen aa som en förändringsfaktor. Grafiskt kan CC tolkas som funktionsvärdet där grafen skär yy-axeln.

Allmän exponentialfunktion
Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.
Uppgift

Funktionen N(t)=12002tN(t)=1200\cdot 2^{t}, beskriver antalet bakterier i en kultur efter tt minuter. Hur många fanns det från början?

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y,y, kommer att minska, och låt xx vara antal år efter idag.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

f(x)f(x) är en potensfunktion. Beräkna f(5)f(5) om


a

f(x)=3x2f(x) = 3x^2.

b

f(x)=4xf(x) = 4\sqrt{x}.

c

f(x)=74x2f(x) = \dfrac{7}{4x^2}.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För potensfunktionen f(x)=Cx3 f(x) = C \cdot x^3 gäller att f(2)=2f(2) = 2 och att CC är en konstant.


a

Bestäm konstanten C.C.

b

Beräkna funktionens värden då xx är 0, 1, 2 resp. 3. Sammanställ resultatet i en värdetabell.

c

Använd värdetabellen för att skissa funktionens graf i ett koordinatsystem.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna till fyra exponentialfunktioner är inritade.

Identifiera vilken av graferna som hör till funktionen och läs av funktionsvärdet för x=3.x= 3.

a

y=4000.8xy = 400 \cdot {0.8}^x

b

y=2000.7xy = 200 \cdot {0.7}^x

c

y=4001.1xy = 400 \cdot {1.1}^x

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har graferna f,f, g,g, hh och k.k.

Para ihop dessa med rätt funktionsuttryck utan att använda räknare.

Ay=61.01xBy=31.1xCy=30.95xDy=61.4x\begin{aligned} &A \quad \quad y=6 \cdot 1.01^x \\ &B \quad \quad y=3 \cdot 1.1^x \\ &C \quad \quad y=3 \cdot 0.95^x \\ &D \quad \quad y=6 \cdot 1.4^x \\ \end{aligned}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du investerar i en fond i början av år 2016. Du skapar också en modell som visar hur du förväntar dig att din investering kommer öka i värde: y=200001.02x, y = 20\,000 \cdot {1.02}^{x}, där yy kr är beloppet i fonden och xx är antal år efter 2016.


a

Vad betyder 20 000 i modellen?

b

Vad betyder 1.02 i modellen?

c

Hur tolkar du att y23000y \approx 23\,000x=7?x = 7?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kommunen Kvidum har idag 37803780 invånare, men man förväntar sig att befolkningen kommer att minska med 2.3%2.3\,\% varje år. Ställ upp en funktion som beskriver invånarantalet i Kvidum om xx år.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet finns graferna till följande potensfunktioner: y=x2,y=x-2ochy=x y = x^2, \quad y = x^{\text{-}2} \quad \text{och} \quad y = \sqrt{x} Vilken graf hör till vilken funktion? Lös uppgiften utan räknare.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En bil är värd 200000200\,000 kronor. Tre år senare är den värd 6900069\,000 kronor. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver bilens värde efter xx år om den procentuella värdeförändringen är samma varje år.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För fem år sedan var du på en konsert med en musikgrupp du gillar. Du köpte då en av deras CD-skivor för 100 kr som alla gruppmedlemmar signerat. Sedan dess har musikgruppen slagit igenom stort och exakt fem år efter konserten säljer du den signerade CD-skivan på auktion för 1200 kr.


a

Beräkna den genomsnittliga prisökningen i procent per år. Avrunda svaret till hela procent.

b

Skissa CD-skivans prisutveckling de senaste fem åren för hand i ett koordinatsystem. Antag att den procentuella prisökningen var lika stor varje år.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Mellan åren 20122012 och 20162016 sjönk priset på silver från 27$/oz.27\$ \text{/oz.} till 14$/oz. 14\$ \text{/oz.} Beräkna den genomsnittliga procentuella förändringen i silverpriset per år.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När ogräsmedlet Meklorprop används i naturen bryts det efter hand ned. Vid konstant jordtemperatur gäller att den kvarvarande mängden avtar exponentiellt med tiden. Den tid det tar tills hälften av ogräsmedlet är kvar (halveringstiden) beror på jordtemperaturen enligt nedanstående tabell.

Jordtemperatur ^\circC Halveringstid i dygn
5 20
10 12
20 3

En åker besprutades med 88 kg Meklorprop. Marktemperaturen var 55 \, ^\circC vid besprutningstillfället och antas vara konstant under de följande veckorna. Hur många procent av den ursprungliga mängden ogräsmedel finns kvar efter 1010 dygn?

Nationella provet VT98 MaC
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sättet som atomerna i radioaktiva ämnen sönderfaller och sänder ut radioaktiv strålning kan beskrivas med en exponentialfunktion, där mängden radioaktivt material beror på tiden. Hur snabbt atomerna sönderfaller brukar mätas i halveringstid, λ,\lambda, som är tiden det tar för hälften av materialet att sönderfalla. Halveringstiden är konstant, det spelar ingen roll hur mycket man har av ämnet.


a

I en behållare finns 200200 mg torium-234.234. Ställ upp en funktion som beskriver hur många milligram torium, y,y, som återstår efter tt dygn om förändringsfaktorn är b.b.

b

Halveringstiden för torium-234234 är 2424 dagar. Med hjälp av detta, bestäm b.b. Svara med tre decimaler.

c

Hur många mg finns kvar av provet efter 8080 dygn?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det är nyår och Ove lovar att gå ner 25%25\, \% av sin nuvarande vikt inom 11 år. Ove är ambitiös och planerar att gå ner 5%5 \, \% av det han väger i början av varje månad tills han nått målet. Första månaden går Ove ner 5%.5 \, \%. Tyvärr är han inte lika viljestark nästa månad och går då upp 3%.3 \, \%.


a

Hur mycket har Ove gått ner efter ett år om han fortsätter jojobanta på det här viset?

b

När når Ove sitt mål?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man vet att en exponentialfunktion f(x)f(x) har de två funktionsvärdena f(2)=180f(2) = 180 och f(4)=1620f(4) = 1620. Bestäm funktionsuttrycket för f(x)f(x).

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Isotopen radon-222222 sönderfaller snabbt. Sönderfallet beskrivs av exponentialfunktionen y=N00.834t, y = N_0 \cdot {0.834}^{t}, där yy är mängden radon-222222 i μ\mumol, N0N_0 är mängden radon från början och tt är tiden räknat i dygn.

a

Med hur många procent har mängden radon minskat efter ett dygn?

b

Hur lång tid tar det för mängden radon att halveras?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En exponentialfunktion beskriver antalet bakterier i en bakterieodling. Funktionen kan skrivas som y(t)=y0at, y(t) = y_0 \cdot a^t, där y(t)y(t) anger antalet bakterier efter tt timmar, y0y_0 är antalet bakterier från början och aa är funktionens förändringsfaktor.

a

Efter fem timmar har antalet bakterier fyrdubblats. Hur stor är den genomsnittliga tillväxttakten per timme för bakterieodlingen i procent?

b

Med denna takt, om odlingen endast innehåller en bakterie från början, ungefär hur många dygn tar det innan det finns en miljon bakterier?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I början av år 20112011 köpte Matilda en dator för 1000010\,000 kr. Datorns värde kan beskrivas med V(t)=100000.60tV(t)=10\,000\cdot0.60^t där VV är datorns värde i kr och tt är tiden i år efter inköpet.

a

Med hur många procent minskar datorns värde per år?

b

Teckna en ny funktion som anger datorns värde VV i kr som funktion av tiden t,t, där tiden nu istället ska räknas i månader efter inköpet.

Nationella provet VT12 2b/2c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}