Omkrets och area

För att beskriva världen runt omkring sig använder man bl.a. geometriska former. En vigselring kan exempelvis ses som en cirkel och väggarna i ett rum kan ses som rektanglar. När man arbetar med sådana figurer är det bekvämt med formler för att beräkna olika egenskaper. Man kanske vill beräkna omkretsen på ringen för att bestämma hur mycket guld som kommer att behövas eller beräkna väggarnas area för att uppskatta hur mycket tapet man måste köpa.

Regel

Kvadrat

En kvadrat är en fyrhörning där alla sidor är lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean bestäms med längden på sidan, $a.$

Regel

Rektangel

I rektanglar är motstående sidor lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean beräknas med dess sidlängder, $b$ och $h.$

Regel

Triangel

En triangels omkrets beräknas med längden av dess sidor: $a,$ $b$ och $c.$ För att bestämma arean måste man även känna till höjden, dvs. det vinkelräta avståndet från en av sidorna till motstående hörn.

Regel

Cirkel

En cirkel är en geometrisk figur där alla punkter på randen är lika långt från cirkelns mitt. Detta avstånd kallas radie och används både när man beräknar omkretsen och arean.

Regel

Romb

En romb är en fyrhörning där alla sidor är lika långa, men vinklarna mellan sidorna måste inte nödvändigtvis vara räta.

Regel

Parallellogram

I en parallellogram är motstående sidor alltid parallella och lika långa, men vinklarna mellan sidorna behöver inte vara räta.

Exempel

Beräkna omkretsen och arean

Uppgift

Pål ska bygga ett fönster med utseende och mått som i bilden.

För att bestämma hur mycket material som behövs till listerna runt fönstret beräknar han omkretsen och för att veta hur mycket glas han behöver beräknar han arean. Vilka värden får han? Avrunda till $2$ värdesiffror.

Lösning

För att enklare kunna utföra beräkningarna delar vi upp fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.

Vi ser att cirkelns diameter är samma som sidan på kvadraten, vilket innebär att radien är hälften så lång, alltså $30$ cm.

Exempel

Omkrets

Omkretsen runt fönstret består av tre sidor från kvadraten och en halvcirkel. Vi beräknar först omkretsen för en hel cirkel, vilket ger $2\pi r = 2 \pi \cdot 30$ cm. Delar vi sedan med $2$ får vi omkretsen för vår halvcirkel. $\dfrac{2 \pi \cdot 30}{2} = 30\pi \text{ cm}$ Vi lägger till sist ihop denna längd med tre av kvadratens sidor och avrundar till $2$ värdesiffror. $30\pi + 60 + 60 + 60 \approx 270 \text{ cm}$ Fönstrets omkrets är alltså ungefär $270$ cm.

Exempel

Area

Arean för fönstret får man genom att lägga ihop arean för kvadraten med den för halvcirkeln. Kvadraten har sidan $60$ cm, vilket ger arean $60^2 = 3600 \text{ cm}^2.$ Arean för halvcirkeln får vi genom att beräkna arean för hela cirkeln, alltså $\pi r^2 = \pi \cdot 30^2$ cm$^2$ och dela den med $2$: $\dfrac{\pi \cdot 30^2}{2}\text{ cm}^2.$ Vi lägger ihop de två areorna för att få fönstrets totala area: $3600 + \dfrac{\pi \cdot 30^2}{2} \approx 5000\text{ cm}^2.$

Visa lösning Visa lösning

Metod

Omvandla längdenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en längd. Exempelvis är det lämpligare att ange avstånd mellan två städer i km eller mil istället för centimeter. Genom att multiplicera eller dividera med $10$ ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste längdenheterna.

I figuren kan man t.ex. se att man ska dividera med $10$ för att omvandla från centimeter till decimeter. Det beror på att det går $10$ cm på $1$ dm. Av samma anledning multiplicerar man med $10$ när man går från decimeter till centimeter. Exempelvis kan längden $180$ cm alltså skrivas om som $\dfrac{180}{10} = 18 \text{ dm.}$

De tomma rutorna mellan meter och kilometer beror på att det inte finns några vanliga längdenheter mellan dessa enheter.

Metod

Omvandla areaenheter

Om storleken på en lägenhet är angiven i kvadratcentimeter vill man förmodligen omvandla den till kvadratmeter, som är det man oftast använder. Genom att multiplicera eller dividera med $100$ ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligare areaenheterna.

Exempelvis går det $100$ cm$^2$ på $1$ dm$^2.$ När man går från kvadratcentimeter till kvadratdecimeter måste man därför dividera med $100.$ På motsvarande sätt multiplicerar man med $100$ när man omvandlar från kvadratdecimeter till kvadratcentimeter. Exempelvis kan arean $350$ cm$^2$ alltså skrivas om till $\dfrac{350}{100} = 3.5 \text{ dm}^2.$

Av de givna areaenheterna är ar (a) och hektar (ha) mindre vanliga och används främst inom lantmäteri.

Exempel

Vad blir den totala kostnaden?

Uppgift

En stad planerar att planerar att asfaltera om en s.k. flygraka. Det är en bredare väg för biltrafik som i nödfall kan användas som start- och landningsbana för mindre flygtrafik. Vägen är $1.5$ km lång och $15$ meter bred. Man räknar med en kostnad på $80$ kr per $\text{m}^2.$ Efter asfalteringen ska vägen även målas med mittlinjer. Dessa är $100$ cm långa och $15$ cm breda och målas med $50$ cm mellanrum. Färgen kostar $65\ \text{kr}/\text{m}^2.$ Hur stor kostnad bör staden budgetera för?

Lösning

Vi börjar med att beräkna arean för vägen. Eftersom det är en raksträcka kan den ses som en rektangel med basen $1.5$ km och höjden $15$ meter.

Det går $1000$ meter på en kilometer så basen på rektangeln blir $1.5\cdot 1000=1500$ meter. Det betyder att arean är $1500\cdot 15 = 22\,500\text{ m}^2.$ Vi multiplicerar detta med $80$ kr för att beräkna den totala kostnaden för asfalteringen: $22\,500\cdot 80 = 1\,800\, 000\text{ kr.}$ Nu beräknar vi hur stor en av mittlinjerna är.

Arean för mittlinjen blir $100\cdot 15 = 1500 \text{ cm}^2.$ Men priset är ju angivet per kvadratmeter. För att omvandla från enheten $\text{cm}^2$ till $\text{m}^2$ dividerar vi med $10\,000$: $\dfrac{1500}{10\,000} = 0.15 \text{ m}^2.$ Men hur många streck får det plats på vägen? Det är $50$ cm mellan varje streck och varje streck är $100$ cm. Det betyder att varje streck har $50$ cm omålad väg till höger eller vänster. Ett streck samt en omålad sektion upptar alltså totalt $100+50=150$ cm, dvs. $1.5$ m. Vi beräknar hur många sådana sträckor det får plats på den $1.5$ km långa vägen genom att dividera $1500$ meter med $1.5$ m. $\dfrac{1500}{1.5} = 1000.$ Det blir alltså totalt $1000$ streck som ska målas så deras totala area blir $1000\cdot 0.15=150\text{ m}^2.$ Detta multiplicerar vi med priset per kvadratmeter: $150\cdot 65=9750 \text{ kr.}$ Till sist lägger vi ihop de två priserna för att få den totala kostnaden: $1\,800\,000 + 9750 = 1\,809\,750\text{ kr.}$ Staden bör alltså budgetera ca $1\,810\, 000$ kr för omasfalteringen.

Visa lösning Visa lösning