{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Statistik

Normalfördelning

Teori

Beroende på vad man undersöker kommer ett statistiskt material att fördela sig på olika sätt. En av de vanligaste fördelningarna kallas normalfördelning och kan ofta användas för att beskriva t.ex. längder och vikter. Nedan har man gjort ett histogram med uppmätta vikter av en viss typ av godispåsar med medelvärdet 112.5112.5 g.

Ju fler observationer man gör desto mer kommer histogrammet likna en kulle med sin högsta punkt vid medelvärdet. Observationerna fördelar sig symmetriskt kring medelvärdet och bredden bestäms av standardavvikelsen. De flesta värdena hamnar nära medelvärdet och blir mer ovanliga längre ut i "svansarna." En kurva med det här utseendet kallas för normalfördelningskurva eller Gausskurva.

normalfördelning med standardintervall och procentsatser utsatta
Medelvärdet brukar betecknas med den grekiska bokstaven μ\mu ("my") och standardavvikelsen med σ\sigma ("sigma"). Procenttalen anger hur stor andel av observationerna som hamnar i de markerade intervallen. De två 2.3%2.3\,\%-intervallen i "svansarna" inkluderar samtliga observationer längre bort än 2σ2\sigma från medelvärdet. Observationer längre än 3σ3\sigma från medelvärdet är mycket sällsynta, men inte omöjliga.

Egenskaper hos normalfördelat material

Allt material som är normalfördelat fördelar sig på samma sätt. Exempelvis ligger alltid ca 68.2%,68.2 \, \%, alltså ungefär två tredjedelar, av observationerna inom en standardavvikelse från medelvärdet, oavsett vad medelvärdet μ\mu och standardavvikelsen σ\sigma är.

Normalfördelning med de två mittersta intervallen markerade

Utseendet på själva kurvan ändras med olika värden på standardavvikelsen. Om standardavvikelsen ökar eller minskar blir kurvan bredare respektive smalare. Procentsatserna ändras dock inte – man hittar ändå samma andel av värdena i de olika intervallen och summan av dem blir alltid 100%100\,\%.

Exempel

Tolka normalfördelningen

Reaktionstiden för ett visst test är normalfördelad med medelvärdet 250250 ms och standardavvikelsen 5050 ms. Hur många av testresultaten kan man förvänta sig hamnar mellan 200200 och 350350 ms?

Normalfördelning med angivna värden

Området mellan 200200 ms och 350350 ms går från en standardavvikelse under medelvärdet till två standardavvikelser ovanför medelvärdet.

Normalfördelning med angivna värden och ett markerat intervall

För att bestämma den totala färgade andelen lägger vi ihop procentsatserna för delområdena: 34.1%+34.1%+13.6%=81.8%. 34.1\,\% + 34.1\,\% + 13.6\,\% = 81.8\,\%. Det innebär alltså att ca 82%,82\,\%, lite mer än fyra femtedelar, av de personer som gör testet förväntas få ett resultat mellan 200200 och 350350 ms.

Visa mer

Exempel

Bestäm andel med normalfördelning

Födelsevikten för kattungar är normalfördelad runt medelvärdet 100100 g, med standardavvikelsen 1515 g. Hur stor andel av kattungarna kan man förvänta sig väger mellan 7070 g och 130130 g?

I denna typ av uppgifter är det bra att börja med att skissa en generell normalfördelning.

Standardintervall och procentsatser för en normalfördelning

Medelvärdet är 100100 g, så μ=100\mu = 100 g, och standardavvikelsen, σ,\sigma, är 1515 g. Det betyder att μσ=10015=85 gochμ+σ=100+15=115 g.\begin{aligned} &\mu - \sigma = 100 - 15 = 85\text{ g} \qquad \text{och} \\ & \mu + \sigma = 100 + 15 = 115\text{ g}. \end{aligned}

På samma sätt räknar vi även ut att μ2σ=70\mu - 2\sigma=70 g och μ+2σ=130\mu + 2\sigma=130 g och skriver in i skissen.

Normalfördelning med angivna värden

Vi är intresserade av hur många kattungar som väger mellan 7070 g och 130130 g när de föds, så vi markerar det intervallet i normalfördelningen.

Normalfördelning med angivna värden och ett markerat intervall

Nu lägger vi ihop de markerade procentsatserna: 13.6%+34.1%+34.1%+13.6%=95.4%. 13.6\,\%+ 34.1\,\% + 34.1\,\% + 13.6\,\% = 95.4\,\%. Man kan alltså förvänta sig att 95.4%95.4\,\% av kattungarna väger mellan 7070 g och 130130 g när de föds.

Visa mer

Uppgifter