{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Aritmetik

Negativa tal

Teori

De negativa talen ligger till vänster om noll på en tallinje och skrivs med ett minustecken. Ett negativt tal befinner sig på samma avstånd på vänster sida om nollpunkten som motsvarande positiva tal är till höger om den. Ju längre åt vänster man går på tallinjen desto mindre blir talet, så -20\text{-} 20 är ett lägre tal än -3\text{-} 3. Negativa tal används till exempel på en termometers skala, där det finns både positiva och negativa temperaturer.

Det finns många användbara tolkningar av negativa tal, exempelvis mängden pengar på ett bankkonto. Om den är positiv har du pengar över men om den är negativ så är du skyldig pengar. Ju mer negativt ditt konto är, desto mer är du skyldig. Visar ditt konto exempelvis -5000\text{-} 5\,000 är du fattigare än om det visar -100.\text{-} 100.

Addition och subtraktion med negativa tal

Regeln när man adderar och subtraherar negativa tal är att om två lika tecken står bredvid varandra, t.ex. 5(-3)5-(\text{-} 3), ger det plus och när två olika tecken står bredvid varandra, t.ex. 5+(-3)5+(\text{-} 3), ger det minus.

Regel

a+(-b)=aba+(\text{-}b)=a-b

Addition av negativt tal

Om ett negativt tal adderas kan man skriva det som en subtraktion. Vi utgår ifrån uttrycket 23 2-3 och undersöker om vi kan skriva om det så att vi får 2+(-3).2+(\text{-}3). Vad händer om vi lägger till 0? Ingenting, då noll inte förändrar värdet. Men noll kan i sin tur skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Vi använder detta för att skriva om uttrycket

232-3
a=a+0a=a+0
2+032+0-3
Skriv 0 som (-3)(-3)(\text{-}3)-(\text{-}3)
2+(-3)(-3)32+(\text{-}3)-(\text{-}3)-3
2+(-3)3(-3)2+(\text{-}3)-3-(\text{-}3)

Vi har redan nämnt att differensen av två lika stora tal är 0 och detta gäller oavsett tal. I uttrycket 3(-3)-3-(\text{-}3) beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. -3{\color{#FF0000}{\text{-} 3}} så det måste vara 0:

Då ser vi att regeln gäller.
Visa mer

Regel

a(-b)=a+ba-(\text{-}b)=a+b

Subtraktion av negativt tal

Om ett negativt tal subtraheras kan man skriva om det som en addition. Vi förklarar varför genom att titta på uttrycket 2(-3). 2-(\text{-}3). Vi undersöker om vi kan skriva om detta så att vi får 2+3.2+3. Vad skulle hända om vi lägger till 0? Ingenting, eftersom nollan inte förändrar värdet. Noll kan i sin tur skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Vi använder detta för att skriva om uttrycket

2(-3)2-(\text{-}3)
a=a+0a=a+0
2+0(-3)2+0-(\text{-}3)
Skriv 0 som 333-3
2+33(-3)2+3-3-(\text{-}3)

Vi har redan nämnt att differensen av två lika stora tal är 0 och detta gäller oavsett tal. I uttrycket 3(-3)-3-(\text{-}3) beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. -3{\color{#FF0000}{\text{-}3}} så det måste vara 0:

Då ser vi att regeln gäller.
Visa mer

I nedanstående figur kan du prova att addera och subtrahera negativa tal.

+


Multiplikation med negativa tal

Regeln när man multiplicerar med negativa tal är att faktorer med lika tecken ger plus och faktorer med olika tecken ger minus.

Regel

a(-b)=-aba(\text{-} b)=\text{-} ab

Multiplikation av positivt och negativt tal

När en positiv och en negativ faktor multipliceras blir produkten negativ. För att visa varför, kan man fråga sig vad multiplikation faktiskt betyder. Multiplikation visar upprepad addition. En multiplikation som 3(-2)3(\text{-}2) kan alltså tolkas som (-2)(\text{-}2) adderat med sig själv 3 gånger: (-2)+(-2)+(-2). (\text{-}2)+(\text{-}2)+(\text{-}2). Förenklar vi uttrycket kan vi visa att regeln gäller.

(-2)+(-2)+(-2)(\text{-}2)+(\text{-}2)+(\text{-}2)
-222\text{-} 2-2-2
-(2+2+2)\text{-}\left(2+2+2\right)
a+a+a=3aa+a+a=3a
-32\text{-}3\cdot 2
Då ser vi att produkten av ett positivt och negativt tal blir negativt. Eftersom det inte spelar någon vilken ordning faktorerna står får man även en negativt produkt om man multiplicerar ett negativt tal med ett positivt dvs. (-a)b=-ab.(\text{-} a)b=\text{-} ab.
Visa mer

Regel

(-a)(-b)=ab(\text{-} a)(\text{-} b)=ab

Multiplikation av negativa tal

När två negativa faktorer multipliceras blir produkten positiv. Vi kan visa varför, om vi utgår från att ett tal, t.ex. (-5),(\text{-}5), multiplicerat med noll blir noll: (-5)0=0. (\text{-}5)\cdot 0=0. Noll kan även skrivas som ett tal minus ett lika stort tal, t.ex. 33.3-3. Detta kan i sin tur skrivas som -3+3\text{-}3+3 genom att ändra ordningen på termerna. Vi ersätter 0 i vänsterledet med detta: (-5)(-3+3)=0. (\text{-}5)\cdot (\text{-}3+3)=0. För att komma vidare ska (-5)(\text{-}5) multipliceras in i parentesen och enligt distributiva lagen multipliceras den med båda termer.

(-5)(-3+3)=0(\text{-}5)\cdot (\text{-}3+3)=0
Multiplicera in (-5) (\text{-}5)
(-5)(-3)+(-5)3=0(\text{-}5)(\text{-}3)+(\text{-}5)\cdot3=0
(-5)(-3)53=0(\text{-}5)(\text{-}3)-5\cdot3=0
(-5)(-3)=53(\text{-}5)(\text{-}3)=5\cdot3
Produkten av två negativa tal är alltså positiv.
Visa mer

Division med negativa tal

Regeln vid division med negativa tal är att om täljaren och nämnaren har lika tecken ger det ett positivt resultat och om de har olika tecken ger det minus.

Regel

-a-b=ab\dfrac{\text{-} a}{\text{-} b}=\dfrac{a}{b}

Division av två negativa tal

När två negativa tal divideras blir kvoten positiv. I både täljaren och nämnaren kan (-1)(\text{-} 1) brytas ut och förkortas bort.

-5-4\dfrac{\text{-}5}{\text{-}4}
Dela upp i faktorer
(-1)5(-1)4\dfrac{(\text{-}1)\cdot 5}{(\text{-}1)\cdot 4}
Förkorta
54\dfrac{5}{4}
Då ser vi att regeln stämmer.
Visa mer

Regel

-ab=-ab\dfrac{\text{-} a}{b}=\text{-} \dfrac{a}{b}

Skriv minustecken framför bråk

Om man delar en negativ täljare med en positiv nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Vi kan visa varför det blir så i bråket -32\frac{\text{-}3}{2} genom att bryta ut -1\text{-}1 i täljaren och 1 i nämnaren.

-32\dfrac{\text{-}3}{2}
Dela upp i faktorer
(-1)312\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{1\cdot 2}
-1132\dfrac{\text{-}1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}

Vi ser att det första bråket har nämnaren 1 och delar man ett tal med 1 blir kvoten alltid täljaren, dvs. -1.\text{-}1.

-1132\dfrac{\text{-}1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}
a1=a\dfrac{a}{1}=a
-132\text{-}1\cdot \dfrac{3}{2}
1a=a1\cdot a=a
-32\text{-}\dfrac{3}{2}
Då ser vi att regeln gäller.
Visa mer

Regel

a-b=-ab\dfrac{a}{\text{-} b}=\text{-} \dfrac{a}{b}

Skriv minustecken framför bråk

Om man delar en positiv täljare med en negativ nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Vi kan visa varför det blir så för bråket 3-2\frac{3}{\text{-}2} genom att förlänga det med (-1).(\text{-}1).

3-2\dfrac{3}{\text{-}2}
3(-1)-2(-1)\dfrac{3(\text{-}1)}{\text{-}2(\text{-}1)}
-a(-b)=ab\text{-} a(\text{-} b)=a\cdot b
3(-1)2\dfrac{3(\text{-}1)}{2}
(-1)32\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{2}

Bryter vi ut 1 i nämnaren kan vi skriva uttrycket som en produkt av två bråk.

(-1)32\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{2}
Dela upp i faktorer
(-1)312\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{1\cdot 2}
-1132\dfrac{\text{-}1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}
a1=a\dfrac{a}{1}=a
-132\text{-}1\cdot \dfrac{3}{2}
1a=a1\cdot a=a
-32\text{-}\dfrac{3}{2}
Då ser vi att regeln gäller.
Visa mer

Digitala verktyg

Minustecken på räknare
Räknaren gör skillnad på negativa tal och tal som subtraheras, och den använder två olika minustecken för att visa detta. För negativa tal används ett kortare minustecken, som man får genom att trycka på knappen (-\text{-}), medan man använder det längre minustecknet - om man ska subtrahera tal.
Beräkningar med minustecken på räknare
Det kortare minustecknet används bara för att göra det efterföljande talet eller uttrycket negativt, t.ex. när man ska multiplicera ett negativt tal med något. Det längre minustecknet används bara när man subtraherar något från något annat. Använder man dem fel finns det en risk att man får oväntade resultat eller felmeddelanden.
Visa mer

Uppgifter