Derivata

Medellutning

Teori

Lutning

Lutningen för en graf anger hur yy-värdet ökar eller minskar för större och större xx-värden, dvs. hur mycket den växer eller avtar. Om lutningen är positiv innebär det att funktionen växer medan en negativ lutning innebär att den avtar. För en horisontell linje, som varken ökar eller minskar, är lutningen 0.0.

Positiv, negativ och ingen lutning

Räta linjer har en konstant lutning som kan läsas av direkt som kk-värdet, men för funktioner som inte är räta ändrar sig lutningen med xx-värdet. För andragradsfunktionen nedan är grafens lutning negativ när xx är negativt och positiv när xx är positivt, och ju längre från origo man går desto brantare blir grafen.

Enhet för lutning

När en grafs lutning tolkas som en förändringshastighet går det att bestämma dess enhet med hjälp av enheterna på koordinataxlarna.

Regel

Lutningens enhet=y-axelns enhetx-axelns enhet\text{Lutningens enhet}=\dfrac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}

Sekant

En rät linje som skär en kurva mer än en gång, dvs. två eller fler gånger, kallas för en sekant. Exempelvis är den röda linjen i koordinatsystemet en sekant eftersom den skär den blå kurvan två gånger.

Kurvan behöver inte vara grafen till en funktion. En rät linje som skär en geometrisk figur på två ställen är också en sekant. Om den geometriska figuren är en cirkel kallas den delen av sekanten som befinner sig inuti cirkeln för korda.

Exempel

Bestäm sekantens ekvation

Ändringskvot

En ändringskvot, ΔyΔx,\frac{\Delta y}{\Delta x}, beskriver den genomsnittliga förändringen för en funktion på ett intervall. Den kan till exempel beskriva medelhastigheten för en bil under en viss tid eller medeltillväxten för bakterier under ett experiment. För att beräkna ändringskvoten bestämmer man ändpunkterna på intervallet, (x1,y1)(x_1, y_1) och (x2,y2),(x_2,y_2), och dividerar förändringen i yy-led med den i xx-led.

ΔyΔx=y2y1x2x1\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Man använder alltså en motsvarighet till kk-formeln och resultatet kan tolkas som medellutningen över intervallet. Ändringskvoten kan dock beräknas för vilken funktion som helst, till skillnad från kk-värdet som endast kan beräknas för räta linjer. Ett annat sätt att tolka ändringskvoten är som lutningen för den sekant som ritas mellan intervallets ändpunkter.

Exempel

Bestäm och tolka ändringskvoten

Beräkna ändringskvot

För att beräkna en funktions ändringskvot på intervallet mellan x1x_1 och x2x_2 använder man formeln ΔyΔx=y2y1x2x1. \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Om man har funktionens graf kan man direkt läsa av koordinaterna, men man måste inte ha tillgång till den utan det går även bra med funktionsuttrycket eller ibland en värdetabell. Man kan t.ex. bestämma ändringskvoten för funktionen y=21.1xy=2\cdot 1.1^x på intervallet mellan x=10x=10 och x=30.x=30.

Om ändpunkternas xx-koordinater är givna, som i det här fallet, kan ändpunkternas yy-värden beräknas genom att sätta in xx-värdena i funktionsuttrycket.

xx 21.1x2 \cdot 1.1^x yy
10{\color{#0000FF}{10}} 21.1102 \cdot 1.1^{\color{#0000FF}{10}} 5.187\sim 5.187
30 {\color{#0000FF}{30}} 21.1302\cdot 1.1^{{\color{#0000FF}{30}}} 34.899\sim 34.899

Intervallets ändpunkter är i det här fallet ungefär (10,5.187)(10,5.187) och (30,34.899).(30,34.899). Genom att behålla många decimaler undviker man stora avrundningsfel.

Nu sätter vi in koordinaterna i formeln och beräknar ändringskvoten.

ΔyΔx=y2y1x2x1\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
Sätt in (30,34.899)\left({\color{#0000FF}{30,34.899}}\right) & (10,5.187)\left({\color{#009600}{10,5.187}}\right)
ΔyΔx=34.8995.1873010\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{{\color{#0000FF}{34.899}}-{\color{#009600}{5.187}}}{{\color{#0000FF}{30}}-{\color{#009600}{10}}}
ΔyΔx=29.71220\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{29.712}{20}
ΔyΔx=1.4856\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=1.4856
ΔyΔx1.5\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \approx 1.5

Ändringskvoten är ungefär 1.5.1.5.