Geometri

Matematisk argumentation

Teori

För att argumentera inom matematiken använder man sig av logik. Genom att utgå ifrån axiom och definitioner, alltså saker som man vet är sanna, kan det dras nya slutsatser om andra saker som då också måste vara sanna. Med hjälp av denna typ av matematisk argumentation kan man bevisa matematiska satser.

Axiom

Ett axiom är ett påstående som antas vara sant utan att bevisas. Matematiken bygger på bevisföring, men man kan bara bevisa något med hjälp av saker man redan vet. Därför måste beviskedjan börja någonstans, och axiomen utgör den här startpunkten. Några axiom som används i matematiken är:

  • Två punkter kan alltid förbindas med en rät linje.
  • Om a=ba=b är b=ab=a.
  • Talet efter ett naturligt tal är alltid ett naturligt tal.

Definition

För att kunna föra meningsfulla diskussioner måste man vara överens om vad orden eller symbolerna man använder betyder. En sådan överenskommen innebörd kallas en definition. Inom matematiken används definitioner för att föra in nya begrepp, som primtal vars definition är "ett heltal större än 1 som endast är delbart med 1 och sig självt". Definitioner kan också vara specifika för en viss situation, t.ex. att längden på en sida i en viss triangel är xx.

Sats

En sats är ett påstående som kan bevisas. Ett exempel på en sats är den som beskriver sambandet mellan sidlängderna i en rätvinklig triangel: a2+b2=c2, a^2 + b^2 = c^2,

dvs. Pythagoras sats. Det måste dock inte röra sig om ekvationer. Påståenden som "jämna tal är delbara med 2" är också satser - så länge de kan bevisas!

Bevis

Inom matematiken är ett bevis ett logiskt resonemang som leder fram till en slutsats. Resonemanget ska vara så pass strikt att slutsatsen måste vara sann om premisserna, alltså det man utgår ifrån, är det. Det finns olika sätt att bevisa något matematisk:

  • Ett direkt bevis är ett konsekvensresonemang där man går rakt på det man vill visa: "Det där leder till det här". Vanlig ekvationslösning är uppbyggd på det här sättet.
  • Ett indirekt bevis går från andra hållet. Istället för att direkt visa att "talet 12 är jämnt" visar man att "om ett tal är udda, så är det inte 12", vilket har samma innebörd.
Pythagoras sats är ett exempel på en sats som kan bevisas med hjälp av dessa metoder. Av tradition brukar ett bevis avslutas med en förkortning som talar om att beviset är slut. Ett vanligt exempel är Q.E.D. som kommer från latinets "Quod Erat Demonstrandum", vilket betyder ungefär "vilket skulle bevisas". Ofta används även den svenska motsvarigheten V.S.B. som står för just Vilket Skulle Bevisas, eller en ruta: .\square.

Exempel

Visa förhållande mellan areor

Implikation

En implikation är ett samband av typen "Om ..., så ...". T.ex. råder en implikation mellan påståendena A: "Figuren är en kvadrat" och B: "Figuren är en fyrhörning". Man brukar använda en pil för att visa att ett påstående implicerar, eller leder till, ett annat:

Implikation wordlist.svg

Notera att implikationen, i det här fallet, inte gäller åt andra hållet: Att figuren är en fyrhörning betyder inte nödvändigtvis att den är en kvadrat. Det finns ju många typer av fyrhörningar.

Implikation Wordlist 1.svg

Ekvivalens

Ordet ekvivalens kan tolkas som likvärdig. Om två uttryck har samma värde, som 2+52+5 och 3+43+4, eller om två påståenden har samma innebörd säger man att de är ekvivalenta. Påstående A: "Triangeln är rätvinklig" är helt likvärdigt (ekvivalent) med påstående B: "Pythagoras sats gäller", eftersom detta är en implikation som gäller åt båda håll.

Ekvivalens wordlist.svg

Detta är en "dubbelimplikation" och kombinerar man pilen åt höger med pilen åt vänster får man tecknet för ekvivalens, vilket är en dubbelpil.

ABA \Leftrightarrow B

Exempel

Avgör implikation eller ekvivalens