Derivata

Lutning i en punkt

Teori

Ibland är man inte intresserad av en genomsnittlig förändring på ett intervall, utan snarare av förändringen vid en specifik tidpunkt, t.ex. en bils hastighet i en specifik tidpunkt. Om det man vill studera representeras grafiskt kan man använda tangenter för att bestämma sådana momentana förändringar.

Tangent

En tangent är en rät linje som precis nuddar en kurva i en punkt och har samma lutning som kurvan där. Man säger att linjen tangerar kurvan i en tangeringspunkt.

funktion med tangent

Man kan därför använda tangenter för att illustrera en kurvas lutning i en viss punkt på grafen.

y=x2y = x^2

y=2xy = 2^x

y=sin(x)y = \sin(x)

Cirkel

Exempel

Undersök grafens lutning i punkterna

Bestämma en tangents lutning grafiskt

En tangent är en rät linje, vilket betyder att den kan beskrivas med räta linjens ekvation: y=kx+m. y=kx+m. Att bestämma en tangents lutning är alltså samma sak som att bestämma dess kk-värde. Om man t.ex. ritar en tangent till funktionen ff i figuren där x=4,x=4, kan dess lutning bestämmas med denna metod.

Använd en linjal för att rita tangenten genom punkten. Den ska precis ska nudda grafen i tangeringspunkten, och linjens lutning ska vara så lik grafens lutning som möjligt i just den punkten.

För att bestämma tangentens lutning väljer man två punkter på den. Välj i första hand sådana som är lätta att läsa av.

Här väljs punkterna (2,3)(2,3) och (6,5).(6,5). Går det inte att hitta lättavlästa punkter får man göra en ungefärlig avläsning, och välj då gärna punkter som ligger en bit ifrån varandra. Eventuella avläsningsfel får nämligen mindre konsekvenser då.

Lutningen beräknas genom att man sätter in de två punkterna i kk-formeln.

k=y2y1x2x1k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
Sätt in (6,5)\left({\color{#0000FF}{6,5}}\right) & (2,3)\left({\color{#009600}{2,3}}\right)
k=5362k = \dfrac{{\color{#0000FF}{5}}-{\color{#009600}{3}}}{{\color{#0000FF}{6}}-{\color{#009600}{2}}}
k=24k=\dfrac{2}{4}
Skriv i decimalform
k=0.5k=0.5

Tangentens lutning är alltså k=0.5.k=0.5.

Exempel

Vad är tangentens ekvation?

Hur tolkas sekanters och tangenters lutning?

Både sekanter och tangenter är räta linjer som kan illustrera så kallade förändringshastigheter hos grafer. En förändringshastighet är en tolkning av en lutning utifrån sammanhanget och med en enhet, exempelvis temperaturförändringen i ett varmt och kvavt klassrum mellan kl. 11:00 och 12:00 en dag där fönstret står öppet ett tag.

Både sekanter och tangenter kan beskriva temperaturförändringar i klassrummet, dock på olika sätt.

Tolkning av sekantens lutning

En sekants lutning motsvarar en genomsnittlig förändring på ett intervall. Den kan t.ex. användas för att besvara frågan "Vad var den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i rummet mellan 11:00 och 12:00?" Denna tar bara hänsyn till "startvärdet" och "slutvärdet" för funktionen på intervallet, inte hur den ser ut däremellan.

Den totala ökningen är ca 5C5^\circ \text{C} under denna timme, vilket ger den genomsnittliga förändringshastigheten ΔyΔx=5600.08C/min. \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{60} \approx 0.08 ^\circ \text{C/min}. Sekantens lutning kan alltså tolkas som att den genomsnittliga temperaturförändringen mellan kl 11 och 12 var en ökning med 0.08C0.08 ^\circ \text{C}/min.

Tolkning av tangentens lutning

Om man istället vill beskriva en förändring vid en viss tidpunkt använder man en tangents lutning. Den kan exempelvis besvara frågan "Vad var temperaturförändringen per minut i rummet kl. 11:26?" Denna tar bara hänsyn till kurvans lutning just där och inte någon annanstans under timmen.

Med två punker på tangenten kan man bestämma den momentana förändringshastigheten till: ΔyΔx=-1545-0.33C/min. \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{-} 15}{45} \approx \text{-}0.33^\circ \text{C}\text{/min.}

Tangentens lutning kan alltså tolkas som att den momentana temperaturförändringen kl 11:26 var en minskning med 0.33C0.33 ^\circ \text{C}/min. Trots att den genomsnittliga temperaturen ökade var alltså temperaturen på väg ner vid just denna tidpunkt.

Exempel

Tolka sekanternas och tangenternas lutning