Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Logaritmen av ett tal är den exponent som man måste sätta på en viss bas för att få tillbaka talet. Exempelvis är tiologaritmen av 10001000 lika med 33 eftersom 103=1000.10^3 = 1000. Generellt kan man skriva detta samband som 10a=ba=lg(b). 10^a=b \quad \Leftrightarrow \quad a=\lg(b).

När man använder ordet logaritm kan man mena ett specifikt värde, t.ex. lg(250)\lg(250) eller log2(19),\log_2(19), men man kan också syfta på den generella funktionen som beskriver alla logaritmer för en given bas.
Begrepp

Logaritmfunktion

Hur logaritmfunktionen ser ut beror på basen. Två exempel är f(x)=log3(x)ochg(x)=ln(x), f(x)=\log_3(x) \quad \text{och} \quad g(x)=\ln(x), där baserna är 33 respektive talet ee. Eftersom man enbart kan beräkna logaritmer för positiva tal är definitionsmängden för funktionerna x>0.x>0. Däremot kan funktionsvärdena variera mellan -\text{-}\infty och ,\infty, vilket innebär att värdemängden är alla reella tal.

Begrepp

Logaritmfunktioners grafer

Hur grafen till en logaritmfunktion ser ut beror på vilken bas som används, men alla logaritmfunktioner har liknande utseende. Ju större xx är, desto större blir funktionsvärdet, men med avtagande lutning.

Uppgift

I koordinatsystemet är grafen till loga(x)\log_a(x) inritad, där basen aa är ett positivt heltal.

Bestäm konstanten a.a.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Absolutbeloppsfunktion

När man beräknar absolutbeloppet av ett tal, a,|a|, blir resultatet alltid större än eller lika med 0.0. Om aa redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt får man -a,\text{-} a, vilket är positivt. Absolutbeloppet kan även ses som en funktion: f(x)=x={x,x0-x,x<0. f(x)=|x|=\begin{cases}x, & x \geq 0 \\ \text{-} x, & x < 0.\end{cases} Abolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, t.ex. polynom, kan grafen hamna både ovanför och under xx-axeln. f(x)=xg(x)=x24h(x)=5x f(x) = |x| \quad g(x) = \left| x^2 -4 \right| \quad h(x) = 5 - |x| Exempelvis blir funktionen h(x)h(x) negativ för xx-värden mindre än -5\text{-}5 och större än 5.5. Graferna till f,f, gg och hh ser ut på följande sätt.

Typiskt för funktioner med absolutbelopp är att de har grafer som vänder skarpt.
Uppgift

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen. y=4x2 y = |4 - x|-2

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Deriverbarhet

En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter. Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata, f(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h, f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},

existerar för varje punkt x0x_0 i definitionsmängden.

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}

{{ subject.displayTitle }}

Logaritmen av ett tal är den exponent som man måste sätta på en viss bas för att få tillbaka talet. Exempelvis är tiologaritmen av 10001000 lika med 33 eftersom 103=1000.10^3 = 1000. Generellt kan man skriva detta samband som 10a=ba=lg(b). 10^a=b \quad \Leftrightarrow \quad a=\lg(b).

När man använder ordet logaritm kan man mena ett specifikt värde, t.ex. lg(250)\lg(250) eller log2(19),\log_2(19), men man kan också syfta på den generella funktionen som beskriver alla logaritmer för en given bas.
Begrepp

Logaritmfunktion

Hur logaritmfunktionen ser ut beror på basen. Två exempel är f(x)=log3(x)ochg(x)=ln(x), f(x)=\log_3(x) \quad \text{och} \quad g(x)=\ln(x), där baserna är 33 respektive talet ee. Eftersom man enbart kan beräkna logaritmer för positiva tal är definitionsmängden för funktionerna x>0.x>0. Däremot kan funktionsvärdena variera mellan -\text{-}\infty och ,\infty, vilket innebär att värdemängden är alla reella tal.

Begrepp

Logaritmfunktioners grafer

Hur grafen till en logaritmfunktion ser ut beror på vilken bas som används, men alla logaritmfunktioner har liknande utseende. Ju större xx är, desto större blir funktionsvärdet, men med avtagande lutning.

Uppgift

I koordinatsystemet är grafen till loga(x)\log_a(x) inritad, där basen aa är ett positivt heltal.

Bestäm konstanten a.a.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Absolutbeloppsfunktion

När man beräknar absolutbeloppet av ett tal, a,|a|, blir resultatet alltid större än eller lika med 0.0. Om aa redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt får man -a,\text{-} a, vilket är positivt. Absolutbeloppet kan även ses som en funktion: f(x)=x={x,x0-x,x<0. f(x)=|x|=\begin{cases}x, & x \geq 0 \\ \text{-} x, & x < 0.\end{cases} Abolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, t.ex. polynom, kan grafen hamna både ovanför och under xx-axeln. f(x)=xg(x)=x24h(x)=5x f(x) = |x| \quad g(x) = \left| x^2 -4 \right| \quad h(x) = 5 - |x| Exempelvis blir funktionen h(x)h(x) negativ för xx-värden mindre än -5\text{-}5 och större än 5.5. Graferna till f,f, gg och hh ser ut på följande sätt.

Typiskt för funktioner med absolutbelopp är att de har grafer som vänder skarpt.
Uppgift

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen. y=4x2 y = |4 - x|-2

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Deriverbarhet

En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter. Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata, f(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h, f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},

existerar för varje punkt x0x_0 i definitionsmängden.
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
{{ 'mldesktop-selftest-label' | message }}
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}