Linjära och exponentiella förändringar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att beskriva verkliga fenomen, t.ex. hur en kopp te svalnar eller hur långt en häst har sprungit, kan man använda funktioner. Det finns flera olika typer av funktioner som kan beskriva sådana förlopp, exempelvis linjära funktioner och exponentialfunktioner. Med dessa kan man bl.a. uppskatta vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.
Begrepp

Proportionalitet

När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är 7.907.90 kr/hg beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera 7.907.90 med antalet hg. Om vikten i hg är xx ska man betala 7.90x  kronor. 7.90 \cdot x \ \ \text{kronor.} Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare.

Begrepp

Linjära förändringar

Ett proportionellt samband ger alltid 00 om man sätter in 0.0. Men om man t.ex. måste betala 22 kr för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset: 7.90x+2  kronor. 7.90x + 2 \ \ \text{kronor}.

Både 7.90x7.90x och 7.90x+27.90x + 2 är exempel på linjära förändringar och de förändras alltid med lika mycket. I det här fallet är den förändringen 7.907.90 kr för varje extra hg man köper.
Uppgift

Familjen Svebjörk ska hyra en stuga i Hassela under sportlovet. Kostnaden kan beskrivas av funktionen k(x)=450xk(x) = 450x kr, där xx är antalet dagar som man hyr stugan. Hur mycket är kostnaden per dag? Hur skulle funktionen se ut om det även fanns en bokningsavgift på 300 kr?

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentiella förändringar

Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in 1000010\,000 kr på ett konto med 5%5\,\% ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn 1.05,1.05, kommer det efter ett år att finnas 100001.05=10500kr. 10\,000 \cdot 1.05 = 10\,500 \; \text{kr.} Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare 5%5\,\% nästa år, vilket gör att det kommer att finnas 100001.05105001.05=105001.05=11025kr. \underbrace{10\,000 \cdot 1.05}_{10\,500}\cdot 1.05 = 10\,500 \cdot 1.05 = 11\,025 \; \text{kr}. Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med 500500 kr första året och 525525 kr andra året. Den ökar dock med lika många procent varje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter tt år kan beskrivas av s(t)=100001.05t, s(t) = 10\,000 \cdot 1.05^t,

vilket är en exponentialfunktion.
Uppgift

Befolkningen i Badholmsta kommun kan beskrivas med funktionen f(t)=240000.93t, f(t)=24\,000 \cdot 0.93^t, där tt är antalet år efter 1985.1985. Hur många personer bodde i kommunen 19901990 enligt modellen? Med hur många procent minskar befolkningen varje år?

Visa lösning Visa lösning

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}

{{ subject.displayTitle }}
För att beskriva verkliga fenomen, t.ex. hur en kopp te svalnar eller hur långt en häst har sprungit, kan man använda funktioner. Det finns flera olika typer av funktioner som kan beskriva sådana förlopp, exempelvis linjära funktioner och exponentialfunktioner. Med dessa kan man bl.a. uppskatta vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.
Begrepp

Proportionalitet

När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är 7.907.90 kr/hg beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera 7.907.90 med antalet hg. Om vikten i hg är xx ska man betala 7.90x  kronor. 7.90 \cdot x \ \ \text{kronor.} Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare.

Begrepp

Linjära förändringar

Ett proportionellt samband ger alltid 00 om man sätter in 0.0. Men om man t.ex. måste betala 22 kr för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset: 7.90x+2  kronor. 7.90x + 2 \ \ \text{kronor}.

Både 7.90x7.90x och 7.90x+27.90x + 2 är exempel på linjära förändringar och de förändras alltid med lika mycket. I det här fallet är den förändringen 7.907.90 kr för varje extra hg man köper.
Uppgift

Familjen Svebjörk ska hyra en stuga i Hassela under sportlovet. Kostnaden kan beskrivas av funktionen k(x)=450xk(x) = 450x kr, där xx är antalet dagar som man hyr stugan. Hur mycket är kostnaden per dag? Hur skulle funktionen se ut om det även fanns en bokningsavgift på 300 kr?

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentiella förändringar

Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in 1000010\,000 kr på ett konto med 5%5\,\% ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn 1.05,1.05, kommer det efter ett år att finnas 100001.05=10500kr. 10\,000 \cdot 1.05 = 10\,500 \; \text{kr.} Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare 5%5\,\% nästa år, vilket gör att det kommer att finnas 100001.05105001.05=105001.05=11025kr. \underbrace{10\,000 \cdot 1.05}_{10\,500}\cdot 1.05 = 10\,500 \cdot 1.05 = 11\,025 \; \text{kr}. Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med 500500 kr första året och 525525 kr andra året. Den ökar dock med lika många procent varje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter tt år kan beskrivas av s(t)=100001.05t, s(t) = 10\,000 \cdot 1.05^t,

vilket är en exponentialfunktion.
Uppgift

Befolkningen i Badholmsta kommun kan beskrivas med funktionen f(t)=240000.93t, f(t)=24\,000 \cdot 0.93^t, där tt är antalet år efter 1985.1985. Hur många personer bodde i kommunen 19901990 enligt modellen? Med hur många procent minskar befolkningen varje år?

Visa lösning Visa lösning
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} chrome_reader_mode
{{ 'mldesktop-selftest-label' | message }}
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}