Funktioner

Linjära funktioner

Teori

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad kk-form.

y=kx+my=kx+m

kk- och mm-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. kk anger lutningen och mm är det yy-värde där linjen skär yy-axeln. I koordinatsystemet har linjen kk-värdet 22 och mm-värdet 1.1.

Exempel

Vad är kk- och mm-värdet för linjen?

kk-värde

För en rät linje skriven på formen y=kx+my = kx + m anger konstanten kk lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i yy-led när man går 1 steg åt höger i xx-led. Denna lutning kallas oftast bara för kk-värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt kk-värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt kk-värde innebär att den lutar nedåt. Om kk är noll får man ingen lutning alls och linjen blir horisontell.

Formeln för att beräkna kk-värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

k=ΔyΔxellerk=y2y1x2x1 k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \quad \text{eller} \quad k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Δ\Delta är den grekiska bokstaven delta och betyder skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i yy-värde mellan två punkter på linjen, (x1,y1)(x_1,y_1) och (x2,y2),(x_2,y_2), och dividerar med skillnaden i xx-värdena. Om förändringen i xx-led är 1 går det att direkt läsa av kk-värdet som förändringen i yy-led. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.

Exempel

Bestäm en linjes lutning från en graf

Exempel

Bestäm en linjes lutning med två punkter

mm-värde

För en rät linje y=kx+my=kx+m kan konstanten mm tolkas som ett mått på linjens förskjutning i yy-led från origo. Det läses av som det yy-värde där linjen skär yy-axeln.

Givet ekvationen för en rät linje går det alltid att bestämma mm-värdet algebraiskt genom att sätta in x=0x=0 i ekvationen, eftersom det ger yy-värdet för grafen då den skär yy-axeln.

Proportionalitet

Går en rät linje, y=kx+my=kx+m igenom origo säger man att yy är proportionell mot xx. Detta kallas ibland direkt proportionalitet. Eftersom linjen skär yy-axeln i origo är m=0m=0 och linjens funktionsuttryck blir då som nedan.

y=kxy=kx

Lutningen kk brukar kallas proportionalitetskonstant.

Exempel

Är yy proportionell mot xx?