{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
close

Linjära ekvationer och ekvationssystem

Linjära ekvationssystem

Teori

Linjärt ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem är två eller flera linjära ekvationer som man löser tillsammans och som har en gemensam lösning. För att visa att de tillhör ett ekvationssystem brukar ekvationerna samlas ihop med en klammer och ibland sätter man även ut romerska siffror för att enklare kunna hänvisa till dem. {x+y=3(I)xy=1(II) \begin{cases}x+y=3 & \, \text {(I)}\\ x-y=1 & \text {(II)}\end{cases} Ekvationssystem innehåller oftast mer än en okänd variabel och lösningen till systemet är de värden som gör att alla likheter stämmer. I exemplet ovan söks det par av xx- och yy-värden som när de sätts in gör att höger- och vänsterleden blir lika stora i båda ekvationerna. Lösningen i det fallet är x=2x = 2 och y=1,y = 1, vilket brukar skrivas {x=2y=1. \begin{cases}x=2 \\ y=1. \end{cases}

Ekvationssystem kan lösas med någon av de algebraiska metoderna additions- eller substitutionsmetoden. Man kan också göra en grafisk lösning, vilket innebär att man hittar punkten där de räta linjernas grafer skär varandra.

Exempel

Ställ upp ett ekvationssystem utifrån graferna
Visa mer

Grafisk lösning - ekvationssystem

En grafisk lösning till ett ekvationssystem innebär att man ritar systemets ekvationer som grafer och läser av det eller de xx- och yy-värden där graferna skär varandra. Säg att man har ekvationssystemet {2y=62xx=y1.\begin{cases}2y=6-2x \\ x=y-1. \end{cases} Man ska alltså hitta det par av xx- och yy-värden som löser båda ekvationer samtidigt. Det sker i linjernas skärningspunkt.

Börja med att skriva om ekvationerna på kk-form genom att lösa ut yy i vänsterledet: {y=3xy=x+1.\begin{cases}y=3-x \\ y=x+1. \end{cases}

Man kan antingen rita funktionerna för hand eller med en grafritande räknare.

Nu kan man läsa av skärningspunkten.

Graferna skär varandra i punkten (1,2).(1,2). Lösningen till ekvationssystemet är därför {x=1y=2.\begin{cases}x=1 \\ y=2. \end{cases}

Ofta är det praktiskt att använda räknaren för att göra en grafisk lösning.

Exempel

Lös ekvationssystemet grafiskt
Visa mer

Digitala verktyg

Lösa ekvationssystem grafiskt på räknare
Visa mer

Antal lösningar till ett linjärt ekvationssystem

För ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och två okända variabler är det möjligt att det finns en lösning, ingen lösning eller oändligt många lösningar.

En lösning

Om ekvationerna i ekvationssystemet representerar två räta linjer som inte är parallella, dvs. de har olika kk-värden, finns det exakt en lösning till ekvationssystemet och det är linjernas skärningspunkt.

Inga lösningar

Om linjerna i ekvationssystemet är parallella, dvs. de har samma kk-värde, men olika mm-värde, innebär det att de aldrig kommer skär varandra. Det innebär att ekvationssystemet saknar lösning.

Oändligt många lösningar

Om ekvationerna i ekvationssystemet har samma kk- och mm-värden beskriver de samma linje vilket innebär att de sammanfaller. Ekvationssystemet har oändligt många lösningar eftersom linjerna byggs upp av samma punkter.

Exempel

Har ekvationssystemet oändligt många lösningar?
Visa mer

Uppgifter