{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Linjära ekvationer och ekvationssystem

Linjära ekvationssystem

Teori

Linjärt ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem är två eller flera linjära ekvationer som man löser tillsammans och som har en gemensam lösning. För att visa att de tillhör ett ekvationssystem brukar ekvationerna samlas ihop med en klammer och ibland sätter man även ut romerska siffror för att enklare kunna hänvisa till dem. {x+y=3(I)xy=1(II) \begin{cases}x+y=3 & \, \text {(I)}\\ x-y=1 & \text {(II)}\end{cases} Ekvationssystem innehåller oftast mer än en okänd variabel och lösningen till systemet är de värden som gör att alla likheter stämmer. I exemplet ovan söks det par av xx- och yy-värden som när de sätts in gör att höger- och vänsterleden blir lika stora i båda ekvationerna. Lösningen i det fallet är x=2x = 2 och y=1,y = 1, vilket brukar skrivas {x=2y=1. \begin{cases}x=2 \\ y=1. \end{cases}

Ekvationssystem kan lösas med någon av de algebraiska metoderna additions- eller substitutionsmetoden. Man kan också göra en grafisk lösning, vilket innebär att man hittar punkten där de räta linjernas grafer skär varandra.

Exempel

Ställ upp ett ekvationssystem utifrån graferna

Ställ upp ett ekvationssystem som kan representeras av graferna.

Vilka är de räta linjerna? Vi bestämmer linjernas kk- och mm-värden.

Den blå linjen har mm-värdet 55 och ökar med 2 steg yy-led för varje steg i xx-led, dvs. kk-värdet är 2. Den röda linjen har mm-värdet 2 och har kk-värdet k=ΔyΔx=12=0.5.k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2}=0.5. Ett ekvationssystem som beskriver linjerna är alltså {y=2x+5y=0.5x+2.\begin{cases}y=2x+5 \\ y=0.5x+2. \end{cases} Genom att omarrangera ekvationerna kan vi få andra ekvationssystem som beskrivs av samma grafer. Ett sådant exempel är att bilda ett ekvationssystem av y2x=5y-2x=5 och 2y=x+4.2y=x+4.

Visa mer

Grafisk lösning - ekvationssystem

En grafisk lösning till ett ekvationssystem innebär att man ritar systemets ekvationer som grafer och läser av det eller de xx- och yy-värden där graferna skär varandra. Säg att man har ekvationssystemet {2y=62xx=y1.\begin{cases}2y=6-2x \\ x=y-1. \end{cases} Man ska alltså hitta det par av xx- och yy-värden som löser båda ekvationer samtidigt. Det sker i linjernas skärningspunkt.

Börja med att skriva om ekvationerna på kk-form genom att lösa ut yy i vänsterledet: {y=3xy=x+1.\begin{cases}y=3-x \\ y=x+1. \end{cases}

Man kan antingen rita funktionerna för hand eller med en grafritande räknare.

Nu kan man läsa av skärningspunkten.

Graferna skär varandra i punkten (1,2).(1,2). Lösningen till ekvationssystemet är därför {x=1y=2.\begin{cases}x=1 \\ y=2. \end{cases}

Ofta är det praktiskt att använda räknaren för att göra en grafisk lösning.

Exempel

Lös ekvationssystemet grafiskt

Lös följande ekvationssystem grafiskt utan räknare: {y=2x1y+x4=0.\begin{cases}y=2x-1 \\ y+x-4=0. \end{cases}

För att lösa ekvationssystemet grafiskt behöver vi rita upp linjerna. Den första ekvationen är redan skriven på kk-form, så vi behöver bara skriva om den andra.

y+x4=0y+x-4=0
y4=-xy-4=\text{-} x
y=-x+4y=\text{-} x+4

Nu ritar vi upp linjerna i ett koordinatsystem genom att tolka linjernas mm-värden som startpunkten och k-värden som lutningen.

Skärningspunkten för linjerna anger det xx- och yy-värde som löser ekvationssystemet.

Linjernas skärningspunkt är (2,3)(2,3) så ekvationssystemets lösning är {x=2y=3.\begin{cases}x=2 \\ y=3. \end{cases}

Visa mer

Digitala verktyg

Lösa ekvationssystem grafiskt på räknare

Lös ekvationssystem med räknare

Det är möjligt att använda räknaren för att lösa ekvationssystem. Det gör man genom att tolka lösningen som skärningspunkten mellan två linjer.

Skriv ekvationerna som funktioner på k-form

För att räknaren ska kunna tolka ekvationerna som linjer måste man först skriva om dem på kk-form, alltså på formen y=kx+m.y = kx + m. Detta gör man genom att lösa ut yy ur ekvationerna, vilket ger funktionerna för två räta linjer.

Skriv in funktionerna på räknaren

Dessa funktioner skriver man nu in på räknaren. På en TI-räknare görs detta genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y1\text{Y}_1, Y2\text{Y}_2 osv. För att skriva xx använder man X,T,θ\theta, n. </translate>

Rita funktionerna

När funktionerna skrivits in trycker man på GRAPH för att rita ut dem i ett koordinatsystem.

För att ändra de xx- och yy-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

Hitta skärningspunkten

Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två utritade graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja 5:intersect i listan.

När man har valt 5:intersect visas de uppritade graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.

  • First curve: Välj den första grafen genom att trycka på ENTER. Om det finns fler än två utritade grafer går det att välja mellan dem med pilarna upp och ner.
  • Second curve: Välj den andra grafen på samma sätt.
  • Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda pilarna höger och vänster och tryck sedan på ENTER.
Skärningspunktens xx- och yy-värden skrivs nu ut, vilket är lösningen till ekvationssystemet.
Visa mer

Antal lösningar till ett linjärt ekvationssystem

För ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och två okända variabler är det möjligt att det finns en lösning, ingen lösning eller oändligt många lösningar.

En lösning

Om ekvationerna i ekvationssystemet representerar två räta linjer som inte är parallella, dvs. de har olika kk-värden, finns det exakt en lösning till ekvationssystemet och det är linjernas skärningspunkt.

Inga lösningar

Om linjerna i ekvationssystemet är parallella, dvs. de har samma kk-värde, men olika mm-värde, innebär det att de aldrig kommer skär varandra. Det innebär att ekvationssystemet saknar lösning.

Oändligt många lösningar

Om ekvationerna i ekvationssystemet har samma kk- och mm-värden beskriver de samma linje vilket innebär att de sammanfaller. Ekvationssystemet har oändligt många lösningar eftersom linjerna byggs upp av samma punkter.

Exempel

Har ekvationssystemet oändligt många lösningar?

Finns det något värde på kk som gör att ekvationssystemet får oändligt många lösningar?

{y=2x+5y=kx+2 \begin{cases}y=2x+5 \\ y=kx+2 \end{cases}

Om ekvationssystemet ska ha oändligt antal lösningar måste linjerna sammanfalla, dvs. vara identiska. Då måste linjernas kk- och mm-värden vara lika. Vi kan sätta kk till 2,2, men linjerna har olika mm-värden så de kan inte sammanfalla.

Linjerna löper parallellt som i figuren och skär aldrig varandra, dvs. ekvationssystemet ovan saknar lösningar. Svaret är alltså nej eftersom linjerna har olika mm-värden.
Visa mer

Uppgifter