Klassisk geometri

Likformighet och kongruens

Teori

Likformighet

Två geometriska figurer som har likadan form, men inte nödvändigtvis samma storlek, kallas likformiga. Om två figurer är likformiga gäller följande:

  • Motsvarande vinklar i figurerna är lika stora.
  • Kvoten, dvs. förhållandet, mellan två motsvarande sidor i figurerna är lika stor för alla sidor.

Med motsvarande menas vinklar och sidor som har samma relativa placering i figurerna, t.ex. hypotenusan i två likformiga rätvinkliga trianglar.

Två likformiga trianglar

Notation

Likformighet: \sim

Likformiga trianglar

För trianglar räcker det med att jämföra två par av vinklar för att avgöra om de är likformiga. Om två motsvarande vinklar är lika stora är även den tredje det, eftersom vinkelsumman är 180180^\circ i alla trianglar.

Två likformiga trianglar
Då blir förhållandena mellan sidorna samma, eftersom man för tre vinklar bara kan rita en typ av triangel. Kvoten mellan motsvarande sidor är alltså konstant.

ABDE=BCEF=ACDF\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}

Exempel

Bestäm de okända sidorna med likformighet

Kongruens

När geometriska figurer är både likformiga och har samma storlek, dvs. de är kopior av varandra, säger man att de är kongruenta. Så länge dessa kriterier är uppfyllda spelar det ingen roll hur de är utritade.

Tre kongruenta fyrhörningar

Trots att den blå figuren är spegelvänd och den röda har roterats jämfört med den gröna är de kongruenta.

Notation

Kongruens: \cong

Kongruenta trianglar

För att avgöra om två trianglar är kongruenta med varandra behöver man inte veta att alla sidor och alla vinklar överensstämmer med varandra. Det finns tre kongruensfall där det räcker att man känner till en kombination av tre vinklar eller sidor. Om något av följande fall är uppfyllda gäller automatiskt även de andra kongruensvillkoren.

Sida-Sida-Sida (SSS)

Trianglar med lika stora sidor är kongruenta.

Sida-Vinkel-Sida (SVS)

Trianglar med två lika stora sidor och lika stor vinkel mellan dem är kongruenta.

Vinkel-Sida-Vinkel (VSV)

Trianglar med två lika stora vinklar och lika stor mellanliggande sida är kongruenta.

Exempel

Vilka trianglar är kongruenta?