{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Statistik

Lägesmått

Teori

Lägesmått används för att ge en förenklad bild av var ett statistiskt material har sin "tyngdpunkt." Istället för att presentera alla värden från exempelvis en viktundersökning kan man använda lägesmåtten medelvärde, median eller typvärde för att få en uppfattning om vilken vikt de flesta ligger kring.

Medelvärde

Ett medelvärde är genomsnittet för ett antal värden. Det beräknas genom att addera alla värden och sedan dividera summan med antalet värden.

Detta kan liknas vid att värdena fördelas om och delas upp i lika stora högar. Vad är medelvärdet av tornens höjder exempelvis? Det är den höjd tornen får om man placerar om blocken så att alla torn har samma höjd.

Illustrera medelvärde

Återställ

Alla torn har då höjden 4,4, och därför är medelhöjden 4.4. Om höjderna betecknas x,x, brukar man ibland beteckna medelvärdet som x¯.\bar{x}. Tornes medelhöjd kan alltså skrivas som x¯=4.\bar{x}=4.

Median

Medianen är "mittenvärdet" i ett statistiskt material. För att bestämma medianen skriver man datamängden i storleksordning och läser av observationen som står i mitten. Om det totala antalet värden är jämnt hamnar två tal i mitten, och då är medianen medelvärdet av dessa två tal.

Illustration av median
Medianen är att föredra över medelvärdet om fördelningen är skev, t.ex. om någon enstaka observation är mycket mindre eller större än övriga observationer. Avviker en av observationerna kan man få ett högt eller lågt medelvärde som inte är representativt för majoriteten av datamängdens observationer.

Digitala verktyg

Bestäm lägesmått med räknare
Man kan bestämma olika lägesmått för en datamängd med hjälp av räknare.

Lägg in värden i lista

Börja med att trycka på knappen STAT och sedan Edit. Därefter skriver man in samtliga värden i en av listorna, t.ex. lista L1. Det spelar ingen roll i vilken ordning.

miniräknare  TI82 som visar edit

Bestäm lägesmått

När värdena är inmatade trycker man på STAT igen och väljer CALC-menyn. Markera alternativet 1-Var Stats och tryck på ENTER två gånger. Om man matat in värdena i någon annan lista än L1 väljer man den genom att trycka på 2nd och sedan siffran på listan (t.ex. 2nd + 3).

miniräknare visar calc

Displayen visar då en mängd olika symboler. Den översta symbolen (x med streck ovanför) är medelvärdet, vilket här är 91.391.3.

miniräknare visar medelvärde

För att hitta medianen måste man trycka nedåt till alternativet Med. Där kan man läsa av medianen, som i just detta fall är 12.4.12.4.

miniräknare visar median
Visa mer

Typvärde

Typvärdet är det vanligaste värdet i en datamängd. Bland talen 4,3,1,2,4,4,5,4 4,\, 3,\, 1,\, 2,\,4,\,4,\,5,\,4

är typvärdet 44 eftersom det förekommer flest gånger. Det är ett lämpligt lägesmått om materialet är något annat än siffror, t.ex. färger eller betyg, eller om man bara är intresserad av det vanligaste alternativet, t.ex. vid en omröstning. Om det finns två eller flera observationer som är lika vanliga finns det mer än ett typvärde. Om det däremot finns lika många av alla värden saknar typvärdet mening.

Exempel

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet för 9,5,7,2,5,4,9,8,9,1. 9,\; 5,\; 7,\; 2,\; 5,\; 4,\; 9,\; 8,\; 9,\; 1.

Medelvärde
För att beräkna medelvärdet räknar vi ut summan av alla värden och dividerar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är 10.10.

x¯=9+5+7+2+5+4+9+8+9+110\bar{x} = \dfrac{9 + 5 + 7 + 2 + 5 + 4 + 9 + 8 + 9 + 1}{10}
x¯=5910\bar{x} = \dfrac{59}{10}
x¯=5.9\bar{x} = 5.9

Medelvärdet är 5.9.5.9.

Median
För att bestämma medianen börjar vi med att skriva värdena i ordning: 1,2,4,5,5,7,8,9,9,9. 1,\; 2,\; 4,\; 5,\; 5,\; 7,\; 8,\; 9,\; 9,\; 9. Medianen är mittenvärdet av serien, men i det här fallet finns det två tal i mitten: 55 och 7.7. Då är medianen medelvärdet av dessa två: Median=5+72=6. \text{Median} = \dfrac{5 + 7}{2} = 6. Medianen är 6.

Typvärde
Typvärdet är det värde som är vanligast i samlingen. I det här fallet är det 99, som förekommer tre gånger.

Visa mer

Exempel

Vilket lägesmått passar bäst?

En lärare ska ställa några frågor till sin klass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?
A. Vilken är din favoritfärg?
B. Hur långt har du till skolan?
C. Hur gammal är du?

A. Vilken är din favoritfärg?
Eftersom svaren inte är tal är typvärde det enda alternativet.

B. Hur långt har du till skolan?
Det är inte säkert att typvärdet kommer att säga något, eftersom alla kanske anger olika svar. Medelvärde är förmodligen lämpligast, om inte någon har en ovanligt lång eller kort resa till skolan. I så fall kan median vara ett bättre val.

C. Hur gammal är du?
Förmodligen kommer de flesta att vara födda samma år, så två åldrar kommer vara vanligast. Ett medelvärde kan då vara lämpligt eftersom det hamnar mellan dessa. Om läraren är med förskjuter det medelvärdet uppåt, så då passar median eller typvärde bättre.

Visa mer

Exempel

Bestäm lägesmåtten från frekvenstabellen

På ett företag frågade man de anställda hur många gånger i veckan de tränar. Bestäm typvärde, medelvärde och median från frekvenstabellen.

Träningsdagar 00 11 22 33 44 55 66 77
Frekvens 55 1919 2727 2222 1515 44 44 11

Typvärde
Typvärdet är det vanligaste värdet, så det är bara att avläsa vilket svarsalternativ som har högst frekvens. I det här fallet har flest personer svarat att de tränar 22 dagar i veckan, vilket då är typvärdet.

Medelvärde
För att beräkna medelvärdet ska vi summera det totala antalet träningsdagar och sedan dela med antal anställda. Vi vet till exempel att 2727 personer tränar 22 dagar i veckan, vilket ger 2272 \cdot 27 dagar, så vi kan beräkna det totala antalet träningsdagar genom att multiplicera träningsdagar med motsvarande frekvens och summera. 50+191+272+223+154+45+46+17=250.\begin{aligned} 5 \cdot 0 &+ 19 \cdot 1 + 27 \cdot 2 + 22 \cdot 3 + 15 \cdot 4 \\ &+ 4 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 1 \cdot 7 = \mathbf{250}. \end{aligned} Antal anställda är summan av frekvenserna: 5+19+27+22+15+4+4+1=97. 5 + 19 + 27 + 22 +15 + 4 + 4 + 1 = \mathbf{97}. Det finns alltså 9797 anställda på företaget. Nu delar vi det totala antalet träningsdagar med antalet anställda för att få genomsnittet: x¯=250972.6 dagar/pers. \bar{x} = \dfrac{250}{97} \approx 2.6 \text{ dagar/pers}.

Median
För att hitta medianen brukar man skriva värdena i storleksordning och läsa av det som står i mitten. Nu finns det väldigt många värden så istället för att skriva ut alla, räknar vi vilket värde i ordningen som står i mitten. Om värdena skrivs i ordning får man först 55 nollor, följt av 1919 ettor, 2727 tvåor osv. 0,0,0,0,0,1,1,1,1, 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\ldots Det finns ett udda antal värden (97),(97), så det finns ett mittenvärde. Det betyder att 9696 värden ligger kring medianen. Eftersom medianen är i mitten finns det lika många tal på varje sida, dvs. 962=48\frac{96}{2}=48 stycken. Medianen är då tal nummer 49.49. De fem första talen är nollor och följda av 1919 ettor så att man kommer upp till nummer 24.24. Tvåorna lägger på ytterligare 2727 tal, upp till och med 5151.

Värde \ldots 22 22 22 22 22 33 \ldots
Nummer \ldots 4747 4848 4949 5050 5151 5252 \ldots

Det 4949:e talet är 22 så medianen är 22 träningsdagar.

Visa mer

Uppgifter