{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer med en x2x^2-, en xx- och en konstantterm, exempelvis 3x2+18x15=0. 3x^2 + 18x - 15 = 0. Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen (x+a)2=b,(x+a)^2=b, där aa och bb är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut x.x.

Flytta över x2x^2- och xx-termerna till vänsterledet och konstanttermerna till högerledet. I exemplet ger detta 3x2+18x=15. 3x^2 + 18x = 15. För att x2x^2-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med 33: x2+6x=5. x^2 + 6x = 5.

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen (x+a)2.(x+a)^2. Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln: (x+a)2=x2+2ax+a2x2+26x+a2=5.\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+{\color{#0000FF}{2a}}x+a^2\\ &\,x^2+\phantom{2}{\color{#0000FF}{6}}x\,\phantom{+a^2}\,=5. \end{aligned} I den nedre ekvationen finns nu en x2x^2-term och en xx-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till a2.a^2. Vad är a?a? Koefficienten framför xx är 2a,2a, vilket betyder att aa är hälften av det. Konstanten aa är alltså 62=3\frac{6}{2}=3 och därför lägger man till 323^2: (x+a)2=x2+2ax+a2x2+ 6x +32=5+32.\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+2ax+{\color{#009600}{a}}^2\\ &\,x^2+\ 6x\ \, +{\color{#009600}{3}}^2\,=5+{\color{#009600}{3}}^2. \end{aligned} För att likheten fortfarande ska gälla måste 323^2 läggas till i högerledet också. Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför x,x, i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

Anledningen till att man lade till 323^2 i förra steget var så att vänsterledet ska kunna faktoriseras genom att använda den första kvadreringsregeln baklänges. Detta görs på följande sätt för exemplet.

x2+6x+32=5+32x^2+6x+3^2=5+3^2
Dela upp i faktorer
x2+2x3+32=5+32x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=5+3^2
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x+3)2=5+32(x+3)^2=5+3^2

Det som nu finns kvar är en andragradsekvation som man kan lösa genom att dra kvadratroten ur båda led.

(x+3)2=5+32(x + 3)^2 = 5 + 3^2
(x+3)2=5+9(x + 3)^2 = 5 + 9
(x+3)2=16(x + 3)^2 = 16
(x+3)2=±16(x + 3)^2 = \pm\sqrt{16}
x+3=±4x + 3 = \pm 4
x=-3±4x = \text{-} 3 \pm 4
x1=-7x2=1\begin{array}{l}x_1 = \text{-}7 \\ x_2 = 1 \end{array}

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.