{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Algebra och icke-linjära ekvationer

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Teori

Kvadreringsreglerna

När två likadana parenteser multipliceras, t.ex. (x+2)(x+2)(x+2)(x+2) eller (2x3)(2x3),(2x-3)(2x-3), kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. Parenteserna skrivs då som en kvadrerad parentes med två termer: (x+2)2eller(2x3)2. (x+2)^2 \quad \text{eller} \quad (2x-3)^2. Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.

Första kvadreringsregeln

Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.

Regel

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a+b)2(a + b)^2
Dela upp i faktorer
(a+b)(a+b)(a + b)(a + b)
aa+ab+ba+bba\cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b
a2+ab+ab+b2a^2 + ab + ab + b^2
a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2

Man får alltså att (a+b)2=a2+2ab+b2. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Visa mer

Andra kvadreringsregeln

Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.

Regel

(ab)2=a22ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(ab)2(a - b)^2
Dela upp i faktorer
(ab)(ab)(a - b)(a - b)
aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b)a\cdot a + a \cdot (\text{-} b) + (\text{-} b) \cdot a + (\text{-} b) \cdot (\text{-} b)
a2abab+b2a^2 - ab - ab + b^2
a22ab+b2a^2 - 2ab + b^2

Man får alltså att (ab)2=a22ab+b2. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Visa mer

Exempel

Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna

Förenkla (x+3)2(x+3)^2 och (7x)2(7-x)^2 med kvadreringsreglerna.

Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.

(x+3)2(x+3)^2
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
x2+2x3+32x^2+2\cdot x\cdot3+3^2
x2+6x+32x^2+6x+3^2
x2+6x+9x^2+6x+9

Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.

(7x)2(7-x)^2
(ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
7227x+x27^2-2\cdot7\cdot x +x^2
4927x+x249-2\cdot7\cdot x +x^2
4914x+x249-14x +x^2
Uttrycken kan alltså utvecklas till x2+6x+9x^2+6x+9 respektive 4914x+x2.49-14x +x^2.
Visa mer

Konjugatregeln

Om två parenteser på formen (a+b)(a+b) och (ab)(a-b) ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av (x+5)(x5)och(2+6y)(26y). (x+5)(x-5) \quad \text{och} \quad (2+6y)(2-6y). Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.

Regel

(a+b)(ab)=a2b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.

(a+b)(ab)(a + b)(a - b)
aa+a(-b)+ba+b(-b)a \cdot a + a \cdot (\text{-} b) + b \cdot a + b \cdot (\text{-} b)
a2ab+abb2a^2 - ab + ab - b^2
a2b2a^2 - b^2

Man får alltså att (a+b)(ab)=a2b2. (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.

Visa mer

Exempel

Utveckla uttrycket med konjugatregeln

Utveckla (4x+3)(4x3)(4x+3)(4x-3) med konjugatregeln.

När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.

(4x+3)(4x3)(4x+3)(4x-3)
(4x)232(4x)^2-3^2
(4x)29(4x)^2-9
(ab)c=acbc \left(a b\right)^{c}=a^c b^c
16x2916x^2-9

Man får alltså 16x29.16x^2-9.

Visa mer

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer. I uttrycket x216x^2 - 16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x242x^2 - 4^2, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x242=(x+4)(x4). x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4).

Uppgifter