Kapitel 4: Extremvärden

Kapitel

En av de absolut vanligaste tillämpningarna av derivata är att använda det för att lösa extremvärdesproblem, dvs. problem som går ut på att bestämma när något når sitt största eller minsta värde. Det kan exempelvis handla om för vilka sidlängder som en flyttkartong har sin största volym, vilken mängd av gödsel som ger den största skörden eller hur många kattleksaker en fabrik ska producera för att minimera tillverkningskostnaderna.

Målet med det här kapitlet är alltså att kunna lösa denna typ av extremvärdesproblem. För att komma dit behövs kunskap om hur derivatan kan användas för att avgöra om en funktion har maximipunkter eller minimipunkter. Det krävs även förståelse för begreppet terrasspunkt och vad som händer om en funktion är definierad på ett intervall där både lokala och globala extrempunkter kan förekomma. Arbetet med detta förenklas avsevärt med hjälp av konceptet andraderivata, som kan användas för att avgöra var en graf är konvex respektive konkav. Kapitlet innehåller även ett avsnitt där man med hjälp av dessa kunskaper skissar grafer.

Centralt innehåll

Följande delar av det centrala innehållet i kurs 3c och 3b behandlas, helt eller delvis, i kapitlet.
F13. Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium och andraderivatan.
F14. Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
P3. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.

Delkapitel

4.1 - Grafens utseende och derivatans tecken
4.2 - Extrempunkter och derivatans nollställen
4.3 - Lokala och globala extrempunkter
4.4 - Andraderivata
4.5 - Skissa grafer
4.6 - Extremvärdesproblem