För potensfunktioner gäller följande deriveringsregel.

Denna regel gäller för alla konstanter $n,$ men har ett ganska invecklat bevis om den ska visas generellt. Därför gäller följande härledning bara för exponenter $n$ som är positiva heltal, men kan utvidgas till att gälla för alla $n.$ Man sätter in $f(x)=x^n$ i derivatans definition: Att utveckla $(x+n{)}^n$ kommer att resultera i ett långt och krångligt uttryck som kommer att innehålla fler termer ju större $n$ är. Man behöver dock bara titta på några av dessa för att kunna bestämma gränsvärdet. Först skriver man om $(x+n{)}^n$ som en multiplikation av $n$ stycken parenteser: När man multiplicerar ihop dessa parenteser kommer varje term i den första parentesen multipliceras med alla i den andra parentesen, tredje parentesen och så vidare. När alla $x$ multipliceras med varandra får man termen $x^n.$

Sedan multipliceras $h$ från den första parentesen med $x$ från de resterande $n-1$ parenteser, vilket ger termen $h\cdot x^{n-1}.$

Man kan få en likadan term om man multiplicerar $h$ från den andra parentesen med $x$ från alla de andra, och på samma sätt för $h$ från den tredje parentesen ända upp till den $n$:te parentesen. Då får man totalt $n$ termer på formen $h\cdot x^{n-1},$ vilket kan skrivas $n\cdot h\cdot x^{n-1}.$ Resten av termerna man får av att multiplicera ihop parenteserna kommer att ha minst två $h$ multiplicerade med varandra, det vill säga Utvecklar man $(x+h{)}^n$ får man alltså $x^n,$ $nh{x}^{n-1}$ och en stor mängd termer med $h^2$ eller högre exponent. Man kan skriva detta som där $\mathcal{O}\left(h^2\right)$ representerar alla termer med $h^2$ eller högre exponent. Man kan nu sätta in detta i derivatans definition och förenkla. $\mathcal{O}\left(h^2\right)$ innehåller bara termer med $h^2$ eller högre exponent som alla kan divideras med $h,$ och när de divideras sänks alla exponenter till $h$ med 1. Alla termer kommer dock fortfarande att innehålla minst en faktor $h,$ så man kan skriva divisionen som där $\mathcal{O}(h)$ är en summa av termer som alla innehåller faktorn $h.$ Då får man Den första termen i gränsvärdet innehåller inget $h,$ så den kommer inte påverkas av att $h$ går mot $0.$ Den andra termen, $\mathcal{O}(h),$ kommer däremot att försvinna helt eftersom alla termer den representerar innehåller minst en faktor $h.$ När $h$ går mot $0$ kommer därför alla dessa termer gå mot $0$ och $\mathcal{O}(h)$ försvinner. Man får Detta betyder att när $n$ är ett positivt heltal.