Den här sidan innehåller förändringar som inte är märkta för översättning.


Hur härleds deriveringsregeln för potensfunktioner?

För potensfunktioner gäller följande deriveringsregel.

D(xn)=nxn1D\left(x^n\right) = nx^{n-1}

Denna regel gäller för alla konstanter n,n, men har ett ganska invecklat bevis om den ska visas generellt. Därför gäller följande härledning bara för exponenter nn som är positiva heltal, men kan utvidgas till att gälla för alla n.n. Man sätter in f(x)=xnf(x) = x^n i derivatans definition: f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0(x+h)nxnh. f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^n - x^n}{h}. Att utveckla (x+n)n(x+n)^n kommer att resultera i ett långt och krångligt uttryck som kommer att innehålla fler termer ju större nn är. Man behöver dock bara titta på några av dessa för att kunna bestämma gränsvärdet. Först skriver man om (x+n)n(x+n)^n som en multiplikation av nn stycken parenteser:

(x+h)(x+h)(x+h) (x+h)(x+h)(x+h)\ldots När man multiplicerar ihop dessa parenteser kommer varje term i den första parentesen multipliceras med alla i den andra parentesen, tredje parentesen och så vidare. När alla xx multipliceras med varandra får man termen xn.x^n.

multiplikation av binom x+h

Sedan multipliceras hh från den första parentesen med xx från de resterande n1n-1 parenteser, vilket ger termen hxn1.h \cdot x^{n - 1}.

multiplikation av binom x+h

Man kan få en likadan term om man multiplicerar hh från den andra parentesen med xx från alla de andra, och på samma sätt för hh från den tredje parentesen ända upp till den nn:te parentesen. Då får man totalt nn termer på formen hxn1,h \cdot x^{n - 1}, vilket kan skrivas nhxn1.n \cdot h \cdot x^{n - 1}. Resten av termerna man får av att multiplicera ihop parenteserna kommer att ha minst två hh multiplicerade med varandra, det vill säga h2xn2,h3xn3osv. h^2 \cdot x^{n - 2}, \quad h^3 \cdot x^{n - 3} \quad \text{osv.} Utvecklar man (x+h)n(x + h)^n får man alltså xn,x^n, nhxn1nhx^{n-1} och en stor mängd termer med h2h^2 eller högre exponent. Man kan skriva detta som (x+h)n=xn+nhxn1+O(h2), (x+h)^n = x^n + nhx^{n-1} + \mathcal{O}\left(h^2\right), där O(h2)\mathcal{O}\left(h^2\right) representerar alla termer med h2h^2 eller högre exponent. Man kan nu sätta in detta i derivatans definition och förenkla.

limh0(x+h)nxnh\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^n - x^n}{h}
limh0xn+nhxn1+O(h2)xnh\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{{\color{#0000FF}{x^n + nhx^{n-1} + \mathcal{O}\left(h^2\right)}} - x^n}{h}
limh0nhxn1+O(h2)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{nhx^{n-1} + \mathcal{O}\left(h^2\right)}{h}
limh0(nhxn1h+O(h2)h)\lim \limits_{h \to 0}\left( \dfrac{nhx^{n-1}}{h} + \dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} \right)
limh0(nxn1+O(h2)h)\lim \limits_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} \right)

O(h2)\mathcal{O}\left(h^2\right) innehåller bara termer med h2h^2 eller högre exponent som alla kan divideras med h,h, och när de divideras sänks alla exponenter till hh med 1. Alla termer kommer dock fortfarande att innehålla minst en faktor h,h, så man kan skriva divisionen som O(h2)h=O(h), \dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} = \mathcal{O}(h), där O(h)\mathcal{O}(h) är en summa av termer som alla innehåller faktorn h.h. Då får man limh0(nxn1+O(h2)h)=limh0(nxn1+O(h)). \lim \limits_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} \right) = \lim \limits_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \mathcal{O}(h) \right). Den första termen i gränsvärdet innehåller inget h,h, så den kommer inte påverkas av att hh går mot 0.0. Den andra termen, O(h),\mathcal{O}(h), kommer däremot att försvinna helt eftersom alla termer den representerar innehåller minst en faktor h.h. När hh går mot 00 kommer därför alla dessa termer gå mot 00 och O(h)\mathcal{O}(h) försvinner. Man får limh0(nxn1+O(h))=nxn1. \lim_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \mathcal{O}(h) \right) = nx^{n-1}. Detta betyder att f(x)=nxn1 f'(x) = nx^{n-1} när nn är ett positivt heltal.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}