Hur beräknas ett annuitetslån?

Tar man ett annuitetslån betalar man en lika stor summa varje gång man gör en avbetalning och denna summa kallas lånets annuitet. Förutom amortering ingår även ränta i detta belopp. För att förstå hur annuiteten beräknas måste man titta på lånet från bankens perspektiv.

Hur mycket vill banken ha tillbaka?

Om man tar ett lån på 100000100\,000 kr med 5%5\,\% ränta och betalar tillbaka hela detta vid ett och samma tillfälle efter 1010 år kommer man att behöva betala 1000001.0510162889kr. 100\,000 \cdot 1.05^{10} \approx 162\,889\, \text{kr.} Slutsumman består av 100000100\,000 kr i amorteringar plus 6288962\,889 kr i räntekostnader. Detta är slutvärdet för de lånade 100000100\,000 kronorna efter 1010 år, och är alltså vad banken förväntar sig att ha efter den tiden.

Ett lån som betalas av efter tio år

Om beloppet istället delas upp i ett antal mindre återbetalningar kommer banken att ha tillgång till en del av sina pengar tidigare än efter 1010 år.

Vad gör banken med de återbetalade pengarna?

När man beräknar annuitetslån gör man antagandet att banken direkt använder de återbetalade pengarna så att de ökar i värde på samma sätt som lånet, alltså 5%5\,\% per år. De kan t.ex. låna ut dem till en annan kund eller investera dem på något annat sätt. För banken ökar alltså lånepengarna i värde med 5%5\,\% per år oavsett om de är utlånade eller har betalats tillbaka. Detta är något man måste ta hänsyn till för att annuiteten ska bli korrekt.

Hur blir totala slutvärdet en geometrisk summa?

Låt säga att lånet i exemplet betalas tillbaka med annuiteten xx kr/år och att den första återbetalningen sker efter ett år. Dessa pengar har banken tillgång till i 99 år och de kommer att generera 5%5\,\% ränta på något annat sätt under denna tid. Slutvärdet för den första avbetalningen blir då för banken x1.059x \cdot 1.05^9 kr.

Första avbetalningen på ett annuitetslån

På samma sätt kommer nästa inbetalning att generera ränta för banken under 88 år, och nästa under 77 år, osv. fram till slutet på år 1010 då man avslutar lånet med den sista avbetalningen på xx kr.

Avbetalningar på ett annuitetslån

Summerar man slutvärdena för alla inbetalningar får man en geometrisk summa: x+x1.05+x1.052++x1.059. x + x \cdot 1.05 + x \cdot 1.05^2 + \cdots + x \cdot 1.05^9. Med hjälp av formeln för geometrisk summa kan detta uttryck sedan förenklas: x+x1.05+x1.052++x1.059=x(1.05101)1.051. x + x \cdot 1.05 + x \cdot 1.05^2 + \cdots + x \cdot 1.05^9 = \dfrac{x \left( 1.05^{10} - 1 \right)}{1.05 - 1}. Värdet av annuitetslånet för banken är alltså x(1.05101)1.051\frac{x \left(1.05^{10} - 1 \right)}{1.05 - 1} kr, där xx är annuiteten.

Vad blir annuiteten?

För att bestämma xx måste man komma ihåg att banken vill få ut totalt 1000001.0510100\,000 \cdot 1.05^{10} kr av lånet. De väljer alltså annuiteten så att de två slutvärdena är lika med varandra: x(1.05101)1.051=1000001.0510. \dfrac{x\left(1.05^{10} - 1\right)}{1.05 - 1} = 100\,000 \cdot 1.05^{10}. Man kan nu lösa ut xx ur detta uttryck för att bestämma den summa som ska betalas årligen.

x(1.05101)1.051=1000001.0510\dfrac{x\left(1.05^{10} - 1\right)}{1.05 - 1} = 100\,000 \cdot 1.05^{10}
x(1.05101)=1000001.0510(1.051)x\left(1.05^{10} - 1\right) = 100\,000 \cdot 1.05^{10} (1.05 - 1)
x=1000001.0510(1.051)1.05101x = \dfrac{100\,000 \cdot 1.05^{10} (1.05 - 1)}{1.05^{10} - 1}
x=12950.45749x = 12\,950.45749\ldots
Avrunda till närmaste heltal
x12950x \approx 12\,950

Annuiteten blir alltså 1295012\,950 kr, som betalas årligen i 1010 år.