Extremvärden

Grafens utseende och derivatans tecken

Teori

Stationära punkter och derivatans nollställen

De xx-värden där derivatan till en funktion är 00 kallas derivatans nollställen. Dessa kan användas för att bestämma funktionens stationära punkter, dvs. maximi-, minimi- och terrasspunkter, eftersom derivatan är 00 där.

Genom att undersöka derivatans tecken till vänster och höger om de stationära punkterna kan man bestämma deras karaktär, dvs. om de är maximi-, minimi- eller terrasspunkter. Om det är olika tecken på båda sidor är det en extrempunkt och om tecknen är lika måste det vara en terrasspunkt. Grafiskt kan man se det som att funktionen byter riktning vid extrempunkter, men inte vid terrasspunkter.

Teckentabell

En teckentabell är ett verktyg för att beskriva en grafs utseende och sambandet med dess derivata. Nedan syns ett exempel på en teckentabell för en funktion, f.f.

xx -2\text{-}2 11
f(x)f'(x) ++ 00 - 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Min \nearrow

Tabellen förklarar inte i detalj hur grafen ser ut, men den beskriver de mest utmärkande dragen. I den finns t.ex. information om karaktären hos eventuella stationära punkter och var funktionen växer och avtar. Den här teckentabellen kan exempelvis tillhöra grafen nedan.

Göra en teckentabell utifrån graf

Grafen visar femtegradsfunktionen f(x).f(x).

Genom att göra en teckentabell till f(x)f(x) enligt följande metod sammanfattar man viktiga egenskaper hos grafen.

Börja med att identifiera för vilket eller vilka xx-värden som grafen har stationära punkter.

Ställ sedan upp teckentabellen och fyll i xx-värdena för de stationära punkterna. I dessa punkter är derivatan f(x)f'(x) lika med 0.0. Man anger också vilken karaktär de stationära punkterna har, där Ter. står för terrasspunkt.

xx -2\text{-}2 55 99
f(x)f'(x) 00 00 00
f(x)f(x) \phantom{\nearrow} Max \phantom{\searrow } Ter. \phantom{\searrow } Min \phantom{ \nearrow}

intervallen till vänster och höger om de stationära punkterna är grafen antingen växande eller avtagande.

Tabellens kolumner bredvid xx-värdena representerar dessa intervall. I raden för funktionen f(x)f(x) ritar man pilar som beskriver grafens utseende där, antingen \, \nearrow \, för växande eller \, \searrow \, för avtagande.

xx -2\text{-}2 55 99
f(x)f'(x) 00 00 00
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Ter. \searrow Min \nearrow

Där funktionen ff är växande är derivatan positiv. På motsvarande sätt är derivatan negativ då grafen är avtagande. Detta markeras med ++ repsektive - på raden för derivatan f(x),f'(x), och därmed är teckentabellen komplett.

xx s -2\text{-}2 55 99
f(x)f'(x) ++ 00 - 00 - 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Ter. \searrow Min \nearrow

Exempel

Gör en teckentabell utifrån grafen