Polynom och funktioner

Gränsvärden

Teori

Vissa funktioner är odefinierade för specifika xx-värden, vilket gör att man inte kan bestämma funktionsvärdet just där. Exempelvis kan man inte bestämma funktionsvärdet då x=2x=2 för den rationella funktionen

f(x)=5xx2 f(x)=\frac{5x}{x-2}

eftersom nämnaren är lika med 00 då. Men vad händer med funktionsvärdet om man kommer väldigt nära x=2?x=2? Detta är en typ av fråga som man kan besvara med hjälp av så kallade gränsvärden.

Gränsvärde

I koordinatsystemet visas grafen till funktionen f(x)=591/x.f(x)=5-9^{1/x}. Om man testar olika xx-värden kan man se att funktionsvärdet verkar närma sig yy-värdet 44xx blir större och större.

Man säger att 4 är funktionens gränsvärde när xx går mot oändligheten. Ett gränsvärde anger alltså det yy-värde en funktion närmar sig när xx-värdet går mot ett specifikt tal, positiva oändligheten ()(\infty) eller negativa oändligheten (-).(\text{-} \infty).

Notation

limxa f(x)=C\lim \limits_{x \to a} \ f(x) =C

Gränsvärde för definierade uttryck

Den enklaste sortens gränsvärde är det då funktionen är definierad för det värde som xx går mot. Då kan gränsvärdet beräknas direkt genom en insättning: limx1 (x2+x+5)=12+1+5=7. \lim \limits_{x \to 1} \ (x^2+x+5) =1^2+1+5=7. Detta fungerar bara om funktionen är kontinuerlig för det xx-värde som sätts in.

Gränsvärde för odefinierade uttryck

Ofta går insättningen inte att göra direkt pga. att funktionen är odefinierad för det värde som xx går mot. Ett återkommande fall är gränsvärden av rationella funktioner, som t.ex. limx2 x24x2. \lim \limits_{x \to 2} \ \frac{x^2-4}{x-2}.

Sätter man in x=2x=2 direkt får man nolldivision. Gränsvärdet måste därför undersökas på andra sätt, t.ex. numeriskt eller genom omskrivningar av uttrycket.

Exempel

Vad är sant och vad är falskt om gränsvärden?

När existerar inte gränsvärden?

Det finns två olika fall då man säger att gränsvärden saknas, eller inte existerar.

Oegentligt gränsvärde

Det ena är om funktionsvärdet går mot oändligheten ()(\infty) eller minus oändligheten (-)(\text{-} \infty) för ett visst xx-värde, dvs. om funktionsvärdet blir oändligt stort eller oändligt litet. Detta kallas oegentligt gränsvärde.

Oegentliga gränsvärden

Höger- och vänstergränsvärde är olika

Det andra är om en funktion går mot olika yy-värden för samma xx-värde. För x=5x=5 närmar sig funktionen f(x)f(x) värdet y=1y=1 från vänster, och y=3y=3 om man kommer från höger.

Man säger då att vänstergränsvärdet limx5f(x)\lim \limits_{x \to 5^-}f(x) är 11 och högergränsvärdet limx5+f(x)\lim \limits_{x \to 5^+}f(x) är 3.3. Eftersom de är olika innebär det att gränsvärdet inte existerar för f(x)f(x) när x5.x\to 5.

Bestämma gränsvärde numeriskt

Att bestämma ett gränsvärde med numerisk metod innebär att man provar sig fram till vad gränsvärdet för en funktion är när den går mot ett specifikt xx-värde. Exempelvis kan gränsvärdet limx1 x2+4x5x1 \lim\limits_{x\to 1} \ \dfrac{x^2+4x-5}{x-1} bestämmas med denna metod.

Funktionen är odefinierad för x=1,x=1, men vi kan bestämma gränsvärdet numeriskt. För att gränsvärdet ska existera måste både vänster- och högergränsvärde existera och vara samma. Man kan börja med vänstergränsvärdet, och väljer då några xx-värden lite mindre än 1.1.

xx 0.90.9 0.990.99 0.9990.999 1\to 1
x2+4x5x1\frac{x^2+4x-5}{x-1}

Sedan beräknar man funktionsvärdet för xx-värdena. Första värdet blir 0.92+40.950.91=5.900 \dfrac{{\color{#0000FF}{0.9}}^2+4 \cdot {\color{#0000FF}{0.9}}-5}{{\color{#0000FF}{0.9}}-1}= 5.900 och sedan fortsätter man på samma sätt.

xx 0.90.9 0.990.99 0.9990.999 1\to 1
x2+4x5x1\frac{x^2+4x-5}{x-1} 5.9005.900 5.9905.990 5.9995.999 6\to 6

Funktionsvärdet verkar närma sig 6,6, så man kan skriva "går mot 66" i sista kolumnen.

Sedan gör man samma sak för xx-värden lite större än 1.1.

xx 1.11.1 1.011.01 1.0011.001 1\to 1
x2+4x5x1\frac{x^2+4x-5}{x-1} 6.1006.100 6.0106.010 6.0016.001 6\to 6

Både höger- och vänstergränsvärdet verkar vara 66 så det är rimligt att anta att detta är funktionens gränsvärde när xx går mot 11, dvs. limx1 x2+4x5x1=6. \lim\limits_{x\to 1} \ \dfrac{x^2+4x-5}{x-1}=6.

Bestämma gränsvärde när xx går mot ett tal

En vanlig algebraisk metod för att bestämma ett gränsvärde är att förenkla funktionsuttrycket så att man kan "sätta in" värdet på x.x. Man kan exempelvis bestämma gränsvärdet limx2 x24x2 \lim\limits_{x\to 2} \ \dfrac{x^2 -4}{x-2} med denna metod.

Börja med att fundera över vad som skulle hända om x=2x=2 sätts in i funktionsuttrycket. Ibland kan gränsvärdet nämligen beräknas direkt, utan förenkling. I det här fallet blir dock nämnaren 00 om x=2,x=2, så denna insättning är inte tillåten eftersom man då får nolldivision.

Genom att förenkla funktionsuttrycket kan man förhoppningsvis få något där uttrycket inte blir odefinierat när xx är 2.2. Här kan täljaren faktoriseras med konjugatregeln. Då ser man att faktorn (x2)(x-2) kommer att kunna förkortas bort.

limx2 x24x2\lim \limits_{x \to 2} \ \dfrac{x^2 -4}{x-2}
limx2 x222x2\lim \limits_{x \to 2} \ \dfrac{x^2 -2^2}{x-2}
limx2 (x+2)(x2)x2\lim \limits_{x \to 2} \ \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2}
limx2 (x+2)\lim \limits_{x \to 2} \ (x+2)

Nu är uttrycket förenklat så långt som möjligt och nämnaren har förkortats bort, vilket var målet.

Slutligen låter man xx gå mot talet i fråga, i det här fallet 2.2. Detta steg skrivs "x2x\rightarrow 2" och innebär rent praktiskt att man plockar bort "limx2\lim \limits_{x \to 2}" samt byter ut alla xx i funktionsuttrycket mot 2.2.

limx2 (x+2)\lim \limits_{x \to 2} \ (x+2)
x2x \to 2
2+22+2
44

Gränsvärdet för x24x2\frac{x^2 -4}{x-2}x2x \to 2 är alltså 4.4.

Bestämma gränsvärde när xx går mot oändligheten

Ett sätt att beräkna gränsvärden för rationella funktioner bygger på principen att division med en stor nämnare ger en kvot som ligger väldigt nära 00. T.ex. är 1100000000000000=0.00000000000001. \frac{1}{100\,000\,000\,000\,000}=0.00000000000001. När ett bråks nämnare går mot oändligheten kommer därför bråkets värde att gå mot 0.0. Man kan t.ex. använda detta för att bestämma gränsvärdet limx x2+52x23x. \lim\limits_{x\to \infty} \ \frac{x^2+5}{2x^2-3x}.

Syftet med detta steg är att skriva om termerna med högst grad till konstanter och övriga termer på formen ax,ax2,ax3,osv. \dfrac{a}{x}, \quad \dfrac{a}{x^2}, \quad \dfrac{a}{x^3}, \quad \text{osv.} Dessa termer kommer då, enligt principen ovan, närma sig 00 när xx går mot oändligheten. Ett sätt att få till detta är att förkorta med termen som har högst grad. Här är polynomen i både täljare och nämnare andragradspolynom, så det är x2x^2 man ska förkorta med.

limx x2+52x23x\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{x^2+5}{2x^2-3x}
limx (x2+5)/x2(2x23x)/x2\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{\left(x^2+5\right)/x^2}{\left(2x^2-3x\right)/x^2}
limx x2x2+5x22x2x23xx2\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{5}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}}
limx 1+5x223x\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{1+\frac{5}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}

När xx går mot oändligheten kommer nämnarna x2x^2 och xx att bli mycket stora, dvs. värdet på 5x2\frac{5}{x^2} och 3x\frac{3}{x} kommer hamna nära 00 precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot 00x.x \to \infty.

limx 1+5x223x\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{1 +\frac{5}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}
xx \to \infty
1+020\dfrac{1+0}{2-0}
12\dfrac{1}{2}

Gränsvärdet för x2+52x23x\frac{x^2+5}{2x^2-3x}xx \to \infty är alltså 12.\frac{1}{2}.