Globala extremvärden

För att bestämma en funktions globala extremvärden, dvs. funktionens största och minsta värden, måste man känna till dess extrempunkter. Vissa av dem kan hittas genom att derivatan sätts lika med $0$, men om funktionen är definierad på ett intervall måste man även ta hänsyn till dess ingående ändpunkter. Dessa är också extrempunkter men eftersom derivatan inte är $0$ där undersöks de separat.

Begrepp

Funktioner på intervall

Funktioner är ibland definierade på intervall, dvs. endast för vissa $x$-värden. Det kan t.ex. bero på att

• funktionens definitionsmängd är ett intervall eller
• att det finns praktiska begränsningar som gör det orimligt att använda vissa $x$-värden.

Det sistnämnda är exempelvis fallet om man låter funktionen $A=\pi r^2$ beskriva arean $A$ m$^2$ av en matta med radien $r$ meter på en rund scen som har radien $10$ m. De möjliga värdena på mattans radie är då $0 < r \leq 10,$ eftersom radien måste ha en positiv längd och inte heller får överstiga scenens.

Begrepp

Extremvärde i ändpunkt

För en funktion som är definierad på ett intervall kommer de ändpunkter som ingår i intervallet att vara lokala extrempunkter. Exempelvis är den högra ändpunkten nedan ett lokalt maximum eftersom närliggande punkter på grafen ligger under punkten.

På motsvarande sätt är den vänstra ändpunkten ett lokalt minimum. I det här fallet är den även ett globalt minimum eftersom punkten är lägre än alla andra punkter på grafen.

Exempel

Bestäm funktionens ändpunkter

Uppgift

Bestäm ändpunkternas koordinater för tredjegradsfunktionen $f(x)=8x - x^3$ på intervallet $\text{-} 1\leq x\leq 3.$

Lösning

Funktionens ändpunkter avgörs av de yttre gränserna på intervallet där den är definierad. Eftersom intervallet är $\text{-} 1\leq x\leq 3$ sätter vi in $x$-värdena $\text{-}1$ respektive $3$ i funktionen och beräknar motsvarande funktionsvärden.

$f(x)=8x - x^3$

$x={\color{#0000FF}{\text{-}1}}$

$f({\color{#0000FF}{\text{-}1}})=8({\color{#0000FF}{\text{-}1}}) - ({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^3$

Beräkna potens & produkt

$f(\text{-}1)=\text{-}8 - (\text{-}1)$

$a-(\text{-} b)=a+b$

$f(\text{-}1)=\text{-}8 + 1$

Förenkla termer

$f(\text{-}1)=\text{-}7$

Den vänstra ändpunkten är alltså $(\text{-}1,\text{-}7).$ Nu sätter vi även in $x=3$ i funktionen.

$f(x)=8x - x^3$

$x={\color{#0000FF}{3}}$

$f({\color{#0000FF}{3}})=8\cdot{\color{#0000FF}{3}}- {\color{#0000FF}{3}}^3$

Beräkna potens & produkt

$f(3)=24-27$

Förenkla termer

$f(3)=\text{-}3$

De två ändpunkterna är $(\text{-}1,\text{-}7)$ och $(3,\text{-}3).$

Visa lösning Visa lösning

Metod

Bestämma en funktions största och minsta värde på ett slutet intervall

Med största och minsta värde för en funktion menar man $y$-värdena i funktionens globala extrempunkter (om det finns några), vilka även kallas för funktionens globala extremvärden. För en kontinuerlig funktion på ett slutet intervall antas största och minsta värde antingen i

• ändpunkter eller
• stationära punkter på intervallet,

så länge de inte är terrasspunkter. Genom att välja ut det största och minsta $y$-värdet från dessa punkter får man fram funktionens globala extremvärden. Man kan t.ex. göra detta för funktionen $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ på intervallet $\text{-}3 \leq x \leq 3.$

1

Bestäm ändpunkternas $y$-värden

Funktionen har sina ändpunkter i början och slutet av intervallet, i detta fall där $x=\text{-}3$ och $x=3.$ Man bestämmer ändpunkternas $y$-värden genom att sätta in dessa $x$-värden i funktionsuttrycket.

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$

$x={\color{#0000FF}{\text{-} 3}}$

$f({\color{#0000FF}{\text{-}3}})=2({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^3+3({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^2-12({\color{#0000FF}{\text{-}3}})$

Beräkna potens

$f(\text{-}3)=2(\text{-}27)+3\cdot 9-12(\text{-}3)$

Multiplicera faktorer

$f(\text{-}3)=\text{-}54+27+36$

Förenkla termer

$f(\text{-}3)=9$

Den vänstra ändpunkten har $y$-värdet $9.$

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$

$x={\color{#0000FF}{3}}$

$f({\color{#0000FF}{3}})=2\cdot {\color{#0000FF}{3}}^3+3\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-12\cdot {\color{#0000FF}{3}}$

Beräkna potens

$f(3)=2\cdot 27 + 3\cdot 9 -12 \cdot 3$

Multiplicera faktorer

$f(3)=54 + 27 - 36$

Förenkla termer

$f(3)=45$

Den högra ändpunkten har $y$-värdet $45.$

2

Bestäm stationära punkters $y$-värden på intervallet

Funktionens stationära punkter kan man hitta med derivata och teckentabell. Om det inte efterfrågas behöver man dock inte bestämma deras karaktär och utesluta eventuella terrasspunkter, eftersom en terrasspunkt ändå aldrig antar något av funktionens extremvärden.

• Derivera funktionen: I det här fallet är derivatan $f'(x)=6x^2+6x-12.$
• Bestäm derivatans nollställen: Här får man ekvationen $6x^2+6x-12=0,$ vilken har lösningarna $x=\text{-}2$ och $x=1.$
• Kontrollera att de ligger på intervallet: Båda de stationära punkterna ligger på intervallet $\text{-}3 \leq x \leq 3.$
• Bestäm deras $y$-värden: Sätter man in $x=\text{-}2$ och $x=1$ i funktionsuttrycket $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ får man

$f(\text{-}2)=20 \quad \text{och} \quad f(1)=\text{-}7,$ dvs. $y$-värdena är $20$ och $\text{-}7.$

3

Jämför $y$-värden

Nu har man undersökt alla relevanta punkter. I det här fallet fick man

• ändpunkterna $(\text{-}3,9)$ och $(3,45)$ samt
• de stationära punkterna $(\text{-}2,20)$ och $(1,\text{-}7).$

Jämför man punkternas funktionsvärden hittar man de globala extremvärdena. $\begin{aligned} \text{Minsta värde: }& \text{-}7\\ \text{Största värde: }& 45 \end{aligned}$ Om man har en grafritare är det alltid bra att kontrollera att det verkar rimligt genom att rita upp funktionen.

Översiktligt kan arbetsgången för att hitta en funktions största och minsta värde, dvs. funktionens globala extremvärden, beskrivas av följande flödesschema.

Exempel

Hitta de globala extrempunkterna

Uppgift

Bestäm koordinaterna för de globala extrempunkterna till $\begin{aligned} f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3+9 \end{aligned}$ på intervallet $\text{-}5 \leq x \leq 2.$

Lösning

Här är vi intresserade av att bestämma koordinaterna för funktionens globala extrempunkter på intervallet, inte bara av funktionens största och minsta värde. Det innebär att vi ska svara med både $x$- och $y$-värdena.

1. Bestäm ändpunkternas koordinater

Ändpunkterna har $x$-koordinaterna $2$ och $\text{-}5.$ Vi sätter in dem i funktionsuttrycket $f(x)=\frac{x^4}{4}+x^3+9,$ en i taget.

$f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3+9$

$x={\color{#0000FF}{2}}$

$f({\color{#0000FF}{2}})=\dfrac{{\color{#0000FF}{2}}^4}{4}+{\color{#0000FF}{2}}^3+9$

Beräkna potens

$f(2)=\dfrac{16}{4}+8+9$

Beräkna kvot

$f(2)=4+8+9$

Förenkla termer

$f(2)=21$

Den högra ändpunkten har alltså koordinaterna $(2,21).$ Nu sätter vi in $x=\text{-}5.$

$f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3+9$

$x={\color{#0000FF}{\text{-}5}}$

$f({\color{#0000FF}{\text{-}5}})=\dfrac{({\color{#0000FF}{\text{-}5}})^4}{4}+({\color{#0000FF}{\text{-}5}})^3+9$

Slå in på räknare

$f(\text{-}5)=40.25$

De två ändpunkternas koordinater är $(2,21)$ och $(\text{-}5,40.25).$

2. Bestäm extrempunkter med derivata och teckentabell

Vi börjar med att derivera funktionen.

$f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3+9$

Derivera funktion

$f'(x)=D\left(\dfrac{x^4}{4}\right)+D\left(x^3\right)+D(9)$

$D\left(\dfrac{x^n}{a}\right) = \dfrac{nx^{n-1}}{a}$

$f'(x)=\dfrac{4x^3}{4}+D\left(x^3\right)+D(9)$

$D\left(x^n\right) = nx^{n-1}$

$f'(x)=\dfrac{4x^3}{4}+3x^2+D(9)$

$D(a) = 0$

$f'(x)=\dfrac{4x^3}{4}+3x^2$

Förenkla kvot

$f'(x)=x^3+3x^2$

Derivatan är alltså $f'(x)=x^3+3x^2.$ Nu sätter vi den till $0$ för att hitta derivatans nollställen. Vi får då en ekvation som vi löser med nollproduktmetoden.

$f'(x)=x^3+3x^2$

$f'(x)={\color{#0000FF}{0}}$

${\color{#0000FF}{0}}=x^3+3x^2$

Omarrangera ekvation

$x^3+3x^2=0$

Dela upp i faktorer

$x^2\cdot x+x^2\cdot 3=0$

Bryt ut $x^2$

$x^2(x+3)=0$

Använd nollproduktmetoden

$\begin{array}{lc}x^2=0 & \text{(I)}\\ x+3=0 & \text{(II)}\end{array}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}$ $\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}$

$\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{0} \\ x+3=0 \end{array}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}$ Förenkla rot & termer

$\begin{array}{l}x=0 \\ x+3=0 \end{array}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}$ $\text{VL}-3=\text{HL}-3$

$\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=\text{-}3 \end{array}$

Vi har alltså stationära punkter i $x=\text{-}3$ och $x=0,$ vilka båda ligger på det givna intervallet $\text{-}5 \leq x \leq 2.$ Vi beräknar $y$-värdena för $x=0$ och $x=\text{-}3.$ $\begin{aligned} f({\color{#0000FF}{\text{-}3}})&=\dfrac{({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^4}{4}+({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^3+9=2.25 \\[0.75em] f({\color{#0000FF}{0}})&=\dfrac{{\color{#0000FF}{0}}^4}{4}+{\color{#0000FF}{0}}^3+9=9 \end{aligned}$

Funktionen $f(x)$ har alltså stationära punkter i $(\text{-}3, 2.25)$ och $(0, 9).$

3. Jämför koordinaternas $y$-värden

Nu har vi undersökt alla lokala extrempunkter och hittat

• ändpunkterna $(2,21)$ och $(\text{-}5,40.25)$ samt
  
• de stationära punkterna $(\text{-}3, 2.25)$ och $(0, 9).$

Den globala minimipunkten för funktionen på det givna intervallet är $(\text{-}3, 2.25)$ eftersom $2.25$ är det minsta $y$-värdet. Den globala maximipunkten är $(\text{-}5,40.25).$ Vi kan kontrollera detta genom att rita upp funktionen.

Visa lösning Visa lösning