Ekonomi och matematik

Geometriska talföljder och summor

Teori

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, sk. element. Talen kallas ofta a1,a_1, a2,a_2, a3a_3 osv. där den nedsänkta siffran kallas för index och anger vilken position i talföljden ett element har.

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal kk för att få nästa element. Talet kk kan t.ex. vara 2,2, så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

geometrisk talföljd

Precis som i andra följder brukar första talet kallas a1,a_1, nästa a2a_2 osv.

geometrisk talföljd

Talet kk brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom kk kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

k=anan1k=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}

Formel

Element a3a_3 ligger två steg bort från startvärdet a1,a_1, och därför ska a1a_1 multipliceras med kk två gånger för att ge a3.a_3. Samma resonemang kan användas för vilket ana_n som helst i följden: ana_n ligger n1n-1 steg bort från a1,a_1,a1a_1 multipliceras med kk precis så många gånger.

an=a1kn1a_n=a_1\cdot k^{n-1}

Exempel

Beräkna det nn:te värdet i talföljden

Geometrisk summa

Summan av de nn första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta: sn=a+ak+ak2++akn1, s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}, där aa är första talet, kk är kvoten mellan två intilliggande tal och nn är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden an=7001.5n1a_n=700 \cdot 1.5^{n-1}: 700+7001.5+7001.52+7001.53. 700+700\cdot 1.5 + 700\cdot 1.5^2 + 700\cdot 1.5^3. Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena a,a, k,k, och nn kan man använda en formel.

Regel

a+ak++akn1=a(kn1)k1k1a+ak+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1} \qquad k \neq 1

Exempel

Beräkna den geometriska summan