Bevis för formeln för geometrisk summa

Formeln för att bestämma en geometrisk summa kan skrivas som nedan, där k1.k \neq 1.

a+ak+ak2++akn1=a(kn1)k1a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}

Vi kallar summan i vänsterledet för sns_n så att vi får ekvationen: sn=a+ak+ak2++akn1, s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}, För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn k.k. Man får då följande två ekvationer:  sn=  a+ak+ak2++akn1(I)snk=ak+ak2+ak3++akn(II) \begin{array}{lc}\ \quad s_n=\ \ a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} & \text{(I)}\\ s_n \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n} & \text{(II)}\end{array} Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma förutom aa och aknak^{n} som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:  sn=a+ak+ak2++akn1snk=   ak+ak2+ak3++akn. \begin{array}{l}\ \quad s_n=a+{\color{#009600}{ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}} \\ s_n \cdot k=\quad \ \ \ {\color{#009600}{ak+ak^2+ak^3+ \ldots }} \quad +ak^{n}. \end{array} Om man subtraherar ekvation (I) från ekvation (II) kommer de gröna termerna att ta ut varandra. Det som därefter blir kvar kan skrivas om till formeln för att bestämma en geometrisk summa.

sn=a+ak+ak2++akn1(I)snk=ak+ak2+ak3++akn(II)\begin{array}{lc}s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} & \text{(I)}\\ s_n \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n} & \text{(II)}\end{array}
sn=a+ak+ak2++akn1snksn=ak+ak2+ak3+akn(a+ak+ak2++akn1)\begin{array}{l}s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} \\ s_n \cdot k-{\color{#0000FF}{s_n}}=ak+ak^2+ak^3 \ldots +ak^{n}-{\color{#0000FF}{(a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1})}} \end{array}
sn=a+ak+ak2++akn1snksn=akna\begin{array}{l}s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} \\ s_n \cdot k-s_n=ak^n-a \end{array}

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut sn.s_n.

snksn=aknas_n \cdot k-s_n=ak^n-a
sn(k1)=aknas_n(k-1)=ak^n-a
sn=aknak1s_n=\dfrac{ak^n-a}{k-1}
sn=a(kn1)k1s_n=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}

Men sns_n var ju från början definierad som a+ak+ak2++akn1a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} vilket ger likheten a+ak+ak2++akn1=a(kn1)k1. a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}.

Q.E.D.