Hur uppkommer falska rötter och när kan man tappa rötter?

När man löser ekvationer med balansmetoden finns det några enstaka fall som kan leda till att man får falska rötter eller tappar bort lösningar.

Falska rötter

Om man kvadrerar ekvationer eller multiplicerar båda led med ett uttryck som innehåller variabeln bör man pröva sina rötter.

  • Kvadrering: Om man kvadrerar båda led i en ekvation, t.ex. x=4,x=4, gör man ju samma sak på båda sidor vilket innebär att likheten behålls, men man kan ändå få rötter som inte löser den ursprungliga ekvationen.
Lösning av ekvation som illustrerar falska rötter med kvadrering

Man får två lösningar, x=-4x=\text{-}4 och x=4,x=4, men bara en löser den översta ekvationen. Det finns alltså en risk att man inför lösningar som inte löser ursprungsekvationen när man kvadrerar båda led.

  • Multiplikation med variabeln: Om man har en ekvation med en variabel i nämnaren kan en falsk rot uppstå om man multiplicerar båda led med x.x. Ett exempel är ekvationen 2xx=0,\frac{2x}{x}=0, som saknar lösningar. Multiplicerar man båda led med xx kan det dock se ut som att x=0x = 0 är en lösning.
Lösning av ekvation som illustrerar falska rötter med multiplikation

Prövar man x=0x=0 blir vänsterledet odefinierat eftersom man dividerar med 00. Det är egentligen redan underförstått att xx inte får vara 00 eftersom det står i nämnaren. När man multiplicerar upp xx:et försvinner dock det villkoret.

Borttappade rötter vid division med variabeln

I vissa ekvationer finns variabeln i alla termer t.ex. 3x2=3x.3x^2=3x. Det kan då vara lockande att dividera med x.x.

Lösning av ekvation som illustrerar borttappad rot
TAGS:

Men x=0x=0 är ju också en lösning till ursprungsekvationen. Varför försvinner den? När man dividerar med xx förutsätter man att xx inte är 00 eftersom nolldivision inte är tillåtet. Därför måste man vara försiktig när man delar båda led med ett uttryck som innehåller variabeln. Gör man det bör man undersöka för vilka värden som det uttryck man delade med är lika med 00 och undersöka om dessa är rötter till ursprungsekvationen.