Extremvärden

Extremvärdesproblem

Teori

Lösa extremvärdesproblem

Matematiska problem med verklighetsanknytning och som går ut på att hitta ett största eller minsta värde för något, t.ex. en area eller kostnad, brukar kallas extremvärdesproblem. Man löser dessa genom att definiera en funktion baserat på frågan och sedan maximera eller minimera den. Följande är ett exempel på ett extremvärdesproblem som kan lösas på detta sätt.

Det ska byggas ett stängsel runt en rektangulär kattgård. Bestäm arean och sidlängderna för den största kattgården som går att bygga med 1010 meter stängsel.

Om funktionsuttrycket inte är givet i uppgiften måste man själv ställa upp det. I det här fallet vill man maximera en area som beror på gårdens sidlängder, vilket innebär att man måste beteckna arean och sidlängderna på något sätt. Man kan t.ex. kalla gårdens area för AA och sidlängderna för xx och y.y.

Kattgård med sidorna x och y

Funktionen ska dock bara bero på en variabel, så antingen yy eller xx måste uttryckas med hjälp av den andra variabeln. Man behöver alltså ytterligare ett samband för att göra detta. I det här fallet kan man utnyttja att det totalt finns 1010 m stängsel. Gårdens omkrets ska alltså vara 1010 m, vilket ger 2x+2y=10. 2x + 2y = 10. Ur detta kan man lösa ut yy och få ett uttryck för kortsidan som enbart beror på x.x. y=5x y = 5 - x Nu behöver man inte använda variabeln yy för att beskriva kattgårdens dimensioner.

Kattgård med sidorna x och 5-x

Kattgårdens area kan beräknas genom att multiplicera långsidan med kortsidan, vilket ger andragradsfunktionen A(x)=x(5x), A(x)=x(5-x), som endast beror på en variabel: x.x.

Ofta begränsar verkligheten funktionens definitions- och/eller värdemängd på något sätt. I det här fallet representerar xx en längd vilket innebär att det inte kan vara negativt.

Sidorna får inte vara 0 eller negativa pga arean

För långsidan gäller därför villkoret x0x \geq 0 och för kortsidan 5x0x5. 5-x \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq 5. Sammanfattningsvis gäller alltså att man ska bestämma funktionens största värde på intervallet 0x5.0 \leq x \leq 5.

Funktionens extrempunkter finns i ändpunkter och i stationära punkter. Om funktionen är definierad på ett slutet intervall bestämmer man alltså koordinaterna för både ändpunkter och stationära punkter på intervallet. I det här fallet ska man maximera funktionen A(x)=x(5x)=5xx2 A(x)=x(5-x)=5x-x^2 på det intervallet 0x5.0 \leq x \leq 5. I ändpunkterna är A(x)=0A(x)=0 eftersom någon av sidlängderna blir 00 där. Derivata är A(x)=52xA'(x)=5-2x och har nollstället x=2.5,x=2.5, så där har funktionen en stationär punkt. Denna punkts funktionsvärde bestämmer man genom att sätta in x=2.5x=2.5 i A(x)A(x): A(2.5)=52.52.52=6.25. A(2.5) = 5\cdot2.5 - 2.5^2 = 6.25. Funktionen har alltså en stationär punkt i (2.5,6.25).(2.5,6.25). Här finns troligen funktionens största värde, men detta behöver kontrolleras innan man drar någon slutsats.

Nu måste man verifiera funktionens största eller minsta värde, dvs. kontrollera att den extrempunkt med högst eller lägst yy-värde faktiskt är ett maximum eller minimum. Man kan alltid göra detta med andraderivatan eller med en teckentabell. Det finns dock två specialfall där verifieringen kan göras på enklare sätt:

  • Om funktionen är kontinuerlig på ett slutet intervall räcker det att jämföra yy-värdena på de stationära punkter och ändpunkter man bestämt. Man vet då med säkerhet att det minsta yy-värdet är ett minimum och att det största yy-värdet är ett maximum.
  • Om man har en andragradsfunktion kan man använda andragradstermens tecken. Är den negativ är extremvärdet ett maximum och är den positiv är det ett minimum.

I detta fall är intervallet slutet så man kan jämföra funktionsvärdena i de stationära punkterna och ändpunkterna. Det största värdet är 6.256.25 och det finns där x=2.5.x=2.5.

Slutligen räcker det inte med att svara med ett tal, utan man behöver påminna sig själv om vad frågan egentligen är. I den här uppgiften skulle man bestämma sidlängderna och den största möjliga arean för kattgården. Största värdet för funktionen A(x)A(x) bestämdes till 6.25,6.25, vilket innebär att gårdens maximala area är 6.25 m2. 6.25 \text{ m}^2. Sidlängden x=2.5x=2.5 m är den längd på långsidan som ger den största arean, vilket innebär att kortsidans längd är 5x=52.5=2.55-x=5-2.5=2.5 m.

Kvadratisk kattgård med sidan 2.5 m

Kattgårdens area är alltså som störst då den har formen av en kvadrat med sidan 2.52.5 m, vilket ger arean 6.256.25 m2.^2.

Exempel

Lös extremvärdesproblemet