Extremvärden

Extrempunkter och derivatans nollställen

Teori

En vanlig tillämpning av derivata är att hitta extrempunkter till en funktion, f(x).f(x). Genom att derivera funktionen och "sätta derivatan lika med 00", dvs. genom att ställa upp ekvationen f(x)=0, f'(x) = 0,

kan man algebraiskt ta reda på de stationära punkterna. Det är i många fall extrempunkterna man är intresserad av eftersom det är där man kan hitta maximala och minimala värden för funktionen t.ex. en maximal vinst eller en minimal kostnad.

Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell

Man kan bestämma lokala extrempunkter för en funktion, t.ex. f(x)=3x416x3+24x2,f(x)=3x^4-16x^3+24x^2, genom att avgöra i vilka punkter dess derivata är 0,0, och därefter undersöka extrempunkternas karaktär samt dess koordinater.

Man börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f(x)=3x416x3+24x2f(x)=3x^4-16x^3+24x^2
f(x)=D(3x4)D(16x3)+D(24x2)f'(x)=D\left(3x^4\right)-D\left(16x^3\right)+D\left(24x^2\right)
f(x)=12x348x2+48xf'(x)=12x^3-48x^2+48x

För att hitta derivatans nollställen sätter man den lika med 00 och löser den ekvation man får. I detta fall får man 12x348x2+48x=0. 12x^3-48x^2+48x=0. Hur man löser f(x)=0f'(x) = 0 beror på hur ekvationen ser ut. Här använder man nollproduktmetoden.

12x348x2+48x=012x^3-48x^2+48x=0
x34x2+4x=0x^3-4x^2+4x=0
x(x24x+4)=0x\left(x^2-4x+4\right)=0
x=0x24x+4=0\begin{array}{lc} x=0 \\ x^2-4x+4=0 \end{array}

I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0,x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pqpq-formeln.

x24x+4=0x^2-4x+4=0
x=--42±(-42)24x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{4}}}
x=-(-2)±(-2)24x=\text{-}(\text{-}2)\pm\sqrt{(\text{-}2)^2-4}
x=2±(-2)24x=2\pm\sqrt{(\text{-}2)^2-4}
x=2±44x=2\pm\sqrt{4-4}
x=2±0x=2\pm\sqrt{0}
x=2x=2

Lösningarna till ekvationen f(x)=0f'(x)=0 är alltså x=0x=0 och en dubbelrot x=2.x=2. Detta är derivatans nollställen, så för dessa xx-värden hittar man funktionens stationära punkter.

För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är 00 när xx är 00 och 2.2.

xx 00 22
f(x)f'(x) 00 00
f(x)f(x) \phantom{\searrow} Min\phantom{Min} \phantom{\nearrow} Ter.\phantom{Ter.} \phantom{\nearrow}

För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om f(x)f(x) är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något xx-värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan f(x).f'(x). Här kan man t.ex. välja xx-värdena -1,\text{-}1, 11 och 3.3.

xx 12x348x2+48x12x^3-48x^2+48x f(x)f'(x) +/+/-
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} 12(-1)348(-1)2+48(-1)12({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^3-48({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2+48({\color{#0000FF}{\text{-}1}}) -12\text{-}12 -
1 {\color{#0000FF}{1}} 12134812+48112\cdot{\color{#0000FF}{1}}^3-48\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2+48\cdot{\color{#0000FF}{1}} +12+12 ++
3 {\color{#0000FF}{3}} 12334832+48312\cdot{\color{#0000FF}{3}}^3-48\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2+48\cdot{\color{#0000FF}{3}} +36+36 ++

Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion (\nearrow) och en negativ derivata ger en avtagande funktion (\searrow).

xx 00 22
f(x)f'(x) - 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) \searrow Min\phantom{Min} \nearrow Ter.\phantom{Ter.} \nearrow

I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om x=0x=0 och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i x=2x=2 är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.

xx 00 22
f(x)f'(x) - 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) \searrow Min \nearrow Ter. \nearrow

Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där x=2.x=2.

Till sist bestämmer man koordinaterna för extrempunkterna. Eftersom man känner till deras xx-värden kan man sätter in dem i funktionen f(x).f(x). Minimipunkten i exemplet har xx-värdet 0,0, vilket ger yy-värdet f(0)=30416032402=0. f(0)=3\cdot0^4-16\cdot0^3-24\cdot0^2=0. Funktionens enda extrempunkt är alltså en minimipunkt med koordinaterna (0,0).(0,0). Man kan kontrollera detta genom att rita funktionen på räknaren.

tredjegradsfunktion med minimipunkt och terrasspunkt

Översiktligt kan arbetsgången för att hitta lokala extrempunkter beskrivas av följande flödesschema.

Flödesschema som visar hur man hittar lokala extrempunkter

Exempel

Hitta funktionens stationära punkter

Exempel

Gör en teckentabell utifrån funktionen

Digitala verktyg

Hitta extremvärde med räknare