Regler för derivator

Exponentiell förändringshastighet

Teori

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen y=Caxellery=Cekx y=Ca^x \quad \text{eller} \quad y=Ce^{kx} används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion f(x)f(x) kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor x.x. Den positiva derivatan f(6)=120f'(6)=120 kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att "efter 66 veckor ökar antalet kaniner med 120120 st./vecka." Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att f(x)>0 för alla x. f'(x) \gt 0 \text{ för alla } x. Den avtagande exponentialfunktionen g(x)g(x) nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen g(x)g(x) på avsvalnande kamomillte efter xx minuter.

Om t.ex. g(2)=-9g'(2)=\text{-} 9 minskar temperaturen med 9C9\, ^\circ \text{C}/min då det har gått 22 minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela g(x),g(x), dvs.

g(x)<0 för alla x. g'(x) \lt 0 \ \text{för alla } x.

Exempel

Tolka derivatan av exponentialfunktionen

Exempel

Bestäm den procentuella förändringen för en exponentialfunktion med basen ee