Algebra och icke-linjära ekvationer

Exponentialekvationer

Teori

En ekvation där variabeln sitter i exponenten i en potens, t.ex. 4x=9,4^x = 9, kallas för exponentialekvation. För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man logaritmer.

Lösa exponentialekvationer med logaritmer

För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man sig av logaritmer.

Exponentialekvationer med basen 10

Följande metod används för att lösa exponentialekvationer där potensen har basen 10, exempelvis 210x=62.2\cdot10^x = 62.

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.
210x=622 \cdot 10^x = 62
10x=3110^x = 31
Genom att ta logaritmen av båda led och förenkla får man variabeln ensam i ett led.
10x=3110^x = 31
lg(10x)=lg(31)\lg \left( 10^x \right) = \lg(31)
lg(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
x=lg(31)x = \lg(31)

Detta är den exakta lösningen för ekvationen, men om inte det efterfrågas kan man få ett ungefärligt värde genom att slå in lg(31)\lg(31) på räknare: lg(31)1.49. \lg(31) \approx 1.49.

Generella exponentialekvationer

Exponentialekvationer med godtycklig bas, t.ex. 2x1=98,2^x-1=98, kan lösas med logaritmlagen för potenser.

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i något led.
2x1=982^x-1= 98
2x=992^x = 99

Ta logaritmen av vänster- och högerledet.

2x=992^x = 99
lg(2x)=lg(99)\lg \left( 2^x \right) = \lg (99)
Flytta ner exponenten framför logaritmen.
lg(2x)=lg(99)\lg \left( 2^x \right) = \lg (99)
xlg(2)=lg(99)x \cdot \lg (2) = \lg (99)
Lös ut variabeln genom att dividera med logaritmen som finns i det ledet.
xlg(2)=lg(99)x \cdot \lg (2) = \lg (99)
x=lg(99)lg(2)x = \dfrac{\lg (99)}{\lg (2)}

Detta är svaret på exakt form, och om det slås in på en räknare får man det ungefärliga svaret x6.63.x \approx 6.63.

Exempel

Lös exponentialekvationen med logaritmer

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner används för att beskriva procentuella förändringar. De definieras av startvärdet och den förändringsfaktor som avgör hur startvärdet ökar eller minskar.

Allmän exponentialfunktion
Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur det kommer se ut i framtiden, men också hur det kan ha sett ut tidigare.

Exempel

Ställ upp en exponentialfunktion